1、3.2.2 奇偶性第一课时 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定
2、义域上的奇偶性是错误的必记结论1函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性2有关对称性的结论：(1)若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)关于xa对称若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)关于点(a,0)对称(2)若f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于xa对称若f(x)
3、f(2ax)2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称自测练习1函数f(x)lg(x1)lg(x1)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析：由知x1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数答案：C2(2015石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A B.C2 D2解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()log2，故选B.答案：B3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0对于xR恒成立，故a0.答案：0自测练习4函
4、数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：考点一函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇
5、函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，xf(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1，)C.D.解析：函数f(x)ln(1|x|)，f(x)f(x)，故f(x)为偶函数，又当x(0，)时，f(x)ln(1x)，f(x)是单调递增的，故f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得x1，故选A.答案：A2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】设函数f(x)的最大值为M，最小
6、值为m，则Mm_.思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解解析易知f(x)1.设g(x)f(x)1，则g(x)是奇函数f(x)的最大值为M，最小值为m，g(x)的最大值为M1，最小值为m1，M1m10，Mm2.答案2方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题跟踪练习已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18C10 D10解析：由f(x)x5ax3bx8知f(x
7、)8x5ax3bx，令F(x)f(x)8可知F(x)为奇函数，F(x)F(x)0.F(2)F(2)0，故f(2)8f(2)80.f(2)26.答案：AA组考点能力演练1(2015陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)0”是“函数f(x)为奇函数”的()A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：f(x)在R上为奇函数f(0)0；f(0)0f(x)在R上为奇函数，如f(x)x2，故选A.答案：A2(2015唐山一模)已知函数f(x)xlog21，则ff的值为()A2 B2C0 D2log2解析：由题意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2
8、(f(x)1)，所以f(x)1为奇函数，则f1f10，所以ff2.答案：A3在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，当0x1时，f(x)2x，则f(2 015)()A2 B2C D.解析：由f(x3)f(x)得函数的周期为3，所以f(2 015)f(67231)f(1)f(1)2，故选A.答案：A4设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1Bx|x1，或0x1Cx|x1Dx|1x0，或0x1解析：奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，从而有函数f(x
9、)的图象如图所示：则有不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0x1，选D.答案：D5已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)1，且对任意的xR，都有f(x3)f(x)，则f(2 017)_.解析：由f(x3)f(x)得函数f(x)的周期T3，则f(2 017)f(1)f(2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)f(2)1.答案：16函数f(x)为奇函数，则a_.解析：由题意知，g(x)(x1)(xa)为偶函数，a1.答案：17已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x
10、)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,38函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式f0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若f0f(1)，即0x1，解得x或x0.f0f(1)，x1，解得x.原不等式的解集是.B组高考题型专练1(2014高考新课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇
11、函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|
12、f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案：C2(2015高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay ByxCy2x Dyxex解析：选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C为偶函数，只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数答案：D3(2015高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：由f(x)2|xm|1是偶函数得m0，则f(x)2|x|1，当x0，)时，f(x) 2x1递增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0log23log25，则f(0)f(log23)f(log25)，即cab.答案：C4(2015高考湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)lnln，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A