1、第四章核心考点精准研析考点一函数y=Asin(x+)的图像及图像变换1.若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图像向左平移个单位,得到的函数是偶函数,则的最小正值是()A.B.C.D.3.已知函数f(x)=sin(x+)(0),若f(x)的图像向左平移个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移个单位所得的图像重合,则的最小值为.4.已知函数f(x)=4cosxsin+a的最大值为2.世纪金榜导学号(1)求
2、a的值及f(x)的最小正周期;(2)画出f(x)在0,上的图像.【解析】1.选A.f(x)=cos=sin=sin=sin2,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=sin,向左平移个单位可得y=sin,因为y=sin是偶函数,所以2+=+k,kZ,=+,kZ,由k=0可得的最小正值是.3.函数f(x)=sin(x+)(0),把f(x)的图像向左平移个单位所得的图像为y=sin=sin,把f(x)的图像向右平移个单位所得的图像为y
3、=sin=sin,根据题意可得y=sin和y=sin的图像重合,故+=2k-+,kZ,求得=4k,kZ,故的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsin+a=4cosx+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,所以a=-1,最小正周期T=.(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:x02x+2f(x)=2sin120-201画图如图所示:1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(x+)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=x+
4、计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图像.考点二由图像求解析式【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(x+)的部分图像如图所示,则,的值分别是()A.2,-B.2,-C.4,-D.4,2.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求.2由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定,由特殊点的坐标
5、想到了求.【解析】1.选A.由题图可知,T=+,即T=,所以=,即=2,由2+=+2k(kZ)得=-+2k,kZ,又-,故=-.2.由题图知A=,=-=,所以T=,=2,所以f(x)=sin(2x+),又对应五点法作图中的第三个点,所以2+=+2k(kZ),=+2k(kZ),又|0,0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.(2)求,确定函数的周期T,则=.(3)求,常用方法有:代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第
6、一点”(即图像上升时与x轴的交点)为x+=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为x+=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为x+=;“第四点”(即图像的“谷点”)为x+=;“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为x+=2.1.已知函数f(x)=Asin(x+)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式是()A.f(x)=sinB.f(x)=sinC.f(x)=sinD.f(x)=sin【解析】选D.由图像可知=-=,所以T=,所以=2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(x+)的图像的一部分如图所示,则f(x)图像的对称轴方程是.【解析】由图像知A=
7、2,又1=2sin(0+),即sin=,又|0,0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以=,所以y=sin+6.因为当x=1时,y=6,所以sin=0,故+=2k,kZ,可取=-,所以y=sin+6=-cosx+6.答案:y=-cosx+6(答案不唯一)方程根(函数零点)问题【典例】已知函数f(x)=2sinxcosx+2sin2x-(0)的最小正周期为.世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=
8、2sinxcosx+(2sin2x-1)=sin2x-cos2x=2sin.由最小正周期为,得=1,所以f(x)=2sin,由2k-2x-2k+(kZ),整理得k-xk+(kZ),所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图像;所以g(x)=2sin2x+1.令g(x)=0,得x=k+或x=k+(kZ),所以在0,上恰好有两个零点,若y=g(x)在0,b上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4+=.方程的根与函数图像的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个
9、数.综合应用问题【典例】(2019全国卷)设函数f(x)=sin(0),已知f(x)在0,2上有且仅有5个零点,下述四个结论:世纪金榜导学号f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点f(x)在上单调递增的取值范围是.其中所有正确结论的编号是()A.B.C. D.【解析】选D.若f(x)在0,2上有5个零点,可画出大致图像,由图1可知,f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点,所以正确.由图1、图2可知,f(x)在(0,2)有且仅有2个或3个极小值点,故错误.函数f(x)=sin的增区间为-+2kx+2k(kZ),x.取k=0,当=时,单调递增区间为-x;当
10、=时,单调递增区间为-x2,解得0,0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2022)的值等于()A.B.2+2C.+2D.-2【解析】选A.由图像知A=2,=0,T=8,所以=8,即=,所以f(x)=2sinx.因为周期为8,且f(1)+f(2)+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) =2sin+2sin+2sin+2sin+2sin+2sin=.2.(2019全国卷)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间单调递增f(x)在-,有4个零点f(x)
11、的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故正确.当x时,f(x)=2sinx,它在区间单调递减,故错误.当0x时,f(x)=2sinx,它有两个零点:0,;当-x0时, f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有一个零点:-,故f(x)在-,有3个零点:-,0,故错误.当x2k,2k+(kN*)时,f(x)=2sinx;当x2k+,2k+2(kN*)时,f(x)=sinx-sinx=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故正确.综上所述,正确. 秒杀绝招画出函数f(x)=sin|x|+|sin x|的图像,由图像可得正确. - 14 -
