1、第二章 推理与证明2.3 数学归纳法A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6解析：当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5.答案：C2用数学归纳法证明某命题时，左式为cos cos 3cos (2n1)(k，kZ，nN*)，在验证n1时，左边所得的代数式为()A.B.cos C.cos cos 3 D.cos cos 3 cos 5 解析：令n1，左式cos .答案：B3记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)
2、()A. B C. D2解析：由凸k边形变成凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案：B4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳递推应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确解析：因为n为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设n2k1(kN*)时正确，再推出n2k1时正确故选B.答案：B5若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立，现知命题对nn0(n0N*)
3、时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：由已知可得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，可推得n(n01)1时命题也成立以此类推可知命题对大于或等于n0的正整数都成立，但命题对小于x0的正整数成立与否不能确定答案：C二、填空题6用数学归纳法证明“1p(n)”从nk推导nk1时原等式的左边应增加的项数是_解析：观察不等式左边的分母可知，由nk到nk1左边多出了共2k12k项答案：2k12k7
4、用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明的错误是_解析：本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符答案：未用归纳假设8用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k2
5、52k1)5634k2.答案：25(34k252k1)5634k2三、解答题9用数学归纳法证明：.证明： (1)当n1时，左边，右边等式成立(2)假设nk时，等式成立，即成立当nk1时，.所以nk1时，等式成立由(1)、(2)可得对一切nN*，等式成立10求证：(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(n2，nN*)时命题成立，即.那么当nk1时，.所以当nk1时，不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立B级能力提升1已知123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，那么a，b的值为()Aa，b BabCa0，b Da，b解
6、析：因为123332433n3n13n(nab)对一切nN*都成立，所以当n1，2时有即解得答案：A2用数学归纳法证明“当nN*时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为_，从nk到nk1时需增添的项是_解析：当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125(k1)1.答案：1222232425k25k125k225k325k43设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解：(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根S11a11，所以(a11)2a1(a11)a10，解得a1，当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，所以a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入整理得SnSn12Sn10.解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.所以当nk1时，结论也成立由可知，Sn的通项公式为Sn(nN*)