1、要点导学各个击破函数的概念判断下列对应是否为函数:(1) xy,y=x2+2x+1,xR;(2) xy,这里y4=x,xR,yR;(3) A=(x,y)|x,yR,对任意的(x,y)A,(x,y)x+y.思维引导判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.解答(1) 对于任意一个实数x,y=x2+2x+1都被x唯一确定,所以当xR时,y=x2+2x+1是函数.(2) 考虑输入值1,即当x=1时,输出值为y,由y4=1,得y=1,这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应),所以y4=x不是函数.(3) 由于集合A不是数集,所以此对应
2、法则一定不是函数.精要点评判断对应关系是否为函数关系,从三个角度入手:(1) 定义域是否为数集;(2) 定义域中每个值是否使解析式都有意义;(3) 由解析式算出的数是否唯一.函数的三要素(2014江苏模拟)下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)f(x)=x-1,g(x)=-1;f(x)=|x|,g(x)=;f(x)=x,g(x)=;f(x)=2x,g(x)=.思维引导判断两个函数是否为同一函数,要从定义域、值域和对应关系三个方面考虑.答案解析f(x)=x-1的定义域为R,g(x)=-1的定义域为x|x0,定义域不同,所以不是同一函数;f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=的定义域为x|
3、x0,定义域不同,所以不是同一函数;f(x)=x,g(x)=x,所以是同一函数;f(x)=2x,g(x)=2|x|0,对应法则和值域都不同,所以不是同一函数.求函数的解析式(1) 已知f(+1)=x+2,求f(x);(2) 设f(x)是一次函数,且ff(x)=4x+3,求f(x);(3) 已知f=x2+1(x0),求f(x).思维引导求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数fg(x)的表达式求f(x),常用换元法.解答(1) 设+1=t(t1),则=t-1,代入f(+1)=x+2,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即
4、f(x)=x2-1(x1).(2) 根据题意,可设f(x)=ax+b(a0),则ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,故a2=4,ab+b=3,解得或所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.(3) 因为f=+3,当x0时,x-R,所以f(x)=x2+3.精要点评在采用整体换元法求解时,一定要注意所换的元的取值范围,不但要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件.(1) (2014江苏模拟)已知f=x2+5x,求f(x)的解析式;(2) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(3) (2014保
5、定模拟)已知f=x+3,求f(x)的解析式.解答(1) 令t=(t0),则x=,所以f(t)=+.故f(x)=(x0).(2) 设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,解得a=2,b=7,所以f(x)=2x+7.(3) 令t=+1(t1),则x=,所以f(t)=+3=,所以f(x)=(x1).如图,有一块半径为R的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是O的直径,且上底CD的端点在圆周上,写出梯形的周长y关于腰长x的函数关系式,并求出它的定义域.(例4)思维引导本题只要将上底用腰长x
6、表示即可.解答由题意得AB=2R,点C,D在O的半圆周上,设腰长AD=BC=x,作DEAB,垂足为E,连接BD,易知ADB是直角.由RtADERtABD,得AD2=AEAB,即AE=.所以CD=AB-2AE=2R-.所以y=2R+2x+.即y=-+2x+4R.由解得0x0,所以当t=3.75时,p取最大值,故最佳加工时间是3.75 min.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度为60 km
7、/h.研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1) 当0x200时,求函数v(x)的表达式.(2) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/h)规范答题(1) 由题意,当0x20时,v(x)=60.当20x200时,设v(x)=ax+b,由已知得解得 (4分)故v(x)= (6分)(2) 依题意并由(1)可得f(x)= (8分)当0x20时,f(x)为单调增函数,故当x=20时,其最大值为6020=1200;当20x200时,f(x)=x(200-x)=, (10分)当
8、且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间20,200上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值3333.即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h.(14分)1. 判断下列对应是否为从集合A到B的函数:(1) A=1,2,3,4,5,B=0,2,4,6,8,xA,f:x2x;(2) A=R,B=R,xA,f:xy,y=|x|;(3) A=0,+),B=R,xA,f:xy,y2=x.解答(1) A中元素5在B中无元素与之对应,故(1)不是函数;(2) 满足函数的定义,故(2)是函数;(3)
9、 当输入值x=1时,输出值y=-1或1,这里一个输入值与两个输出值对应,故(3)不是函数.2. 下列各组函数中,表示相同函数的是.(填序号)f(u)=,g(v)=;f(x)=,g(x)=x;f(x)=,g(x)=1-|x|,x-1,1;f(x)=,g(x)=.答案解析中两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.中由于f(x)=|x|,两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.中两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.中两个函数的定义域不同,故它们不是同一函数.3. 已知函数f(x)=.若f(a)=3,则实数a=.答案104. (2014江苏模拟)某种产品的购买量x(单位:t)与单价y(单位:t)之间满足一次函数关系,如果购买1 000t,每吨800元,购买2 000t,每吨700元,那么一客户购买400t,单价应为元.答案860解析设y=kx+b,则有解得k=-,b=900,所以y=-x+900,当x=400时,y=860.所以单价应为860元.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第7-8页).