1、班级 姓名 学号 分数 (测试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)1. 已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的自然数有( )A最大值15 B最小值15 C最大值16 D最小值16【答案】D【解析】考点:1对数运算;2数列求和2. 已知数列满足,若,则( )A2 B-2 C D【答案】A【解析】试题分析:数列,满足,所以数列是周期为3的周期数列,故选A考点:数列递推式3. 若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )A13项 B12项 C11项 D10项【答案】A【解析】试题分析:根据题意,又,。故
2、选A。考点:等差数列的性质4. 已知数列2 008,2 009,1,2 008,2 009,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和等于( )A1 B2 010 C4 018 D0【答案】A【解析】考点:数列的通项5. 若数列的通项公式分别是,且对任意恒成立,则实数的取值范围是A B C D【答案】C【解析】试题分析:当为奇数时,由已知,所以,即,因为恒成立所以,所以,当为偶数时,由已知,所以,所以的最小值是当时,所以,所以考点:数列的函数性质6. 数列满足且,则数列的第100项为A B C D【答案】D【解析】考点:等差数列7. 已知数列的通项公
3、式为,若对任意,都有,则实数的取值范围是A B C D【答案】A【解析】试题分析:由题意可得,因为对所有不等式恒成立,经验证在上递减,上递增,或在上递减,上递增,符合题意,故选A。考点:数列的函数特性8. 已知数列满足,则数列的最小值是A25 B26 C27 D28【答案】B【解析】试题分析:因为所以,解得,由累加方法求得数列,所以,而解得,当n=7时, 由最小值26考点: 1数列求通项公式;2基本不等式9. 在数列中,则( )A B C D【答案】A【解析】考点:迭加法求数列通向公式10. 已知曲线及两点和,其中过,分别作轴的垂线,交曲线于,两点,直线与轴交于点,那么( )(A)成等差数列
4、(B)成等比数列(C)成等差数列 (D)成等比数列【答案】A【解析】试题分析:由题意得,所以成等差数列,选A考点:三点共线,等差数列的定义11. 已知数列满足则的前60项和为( )A3690 B3660 C1845 D1830【答案】D【解析】考点:数列的前项和12. 数列满足,则的整数部分是( )A B C D【答案】B【解析】试题分析:,所以所以:,累加得:所以根据已知,所以根据递推公式得:,所以,那么那么的整数部分是考点:1递推数列;2累加法二填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13. 将数列按“第组有个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),则第10组中的第
5、一个数是_【答案】 【解析】考点:数列.14. 数列满足,其中,当时,_;【答案】【解析】试题分析:当时,即,所以数列是常数数列,所以 ,所以.考点:数列综合应用.15. 数列的前项和为,已知,且任意正整数,都有,若恒成立,则实数的最小值为 【答案】【解析】试题分析:恒成立,当时,即,当时,.考点:等比数列的前n项和、恒成立问题.16. 把正整数排列成如下图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到数列,若an=2015,则_【答案】【解析】考点:1等差数列;2归纳法三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写
6、出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知等差数列满足:,的前n项和为()求及;()令(),求数列的前n项和【答案】(1)(2)【解析】试题解析:()设等差数列的公差为d,因为,所以有,解得, 所以;=()=,所以=考点:(1)数列的求和;(2)等差数列的通项公式18. 已知数列满足,且成等差数列.(I)求的值和的通项公式;(II)设,求数列的前项和.【答案】(I) ; (II) .【解析】(I) 由已知,有,即,所以,又因为,故,由,得,当时,当时,所以的通项公式为【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.19. 已知数列是递增的等比数列,且()求数列的通项公式
7、;()设为数列的前n项和,求数列的前n项和.【答案】()() 【解析】()由题设可知,又, 可解的或(舍去)由得公比,故.()又所以.【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质,等比数列的前n项和,以及利用裂项相消法求和.20. 已知为数列的前项和,且有,()(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,其前项和为,求证:【答案】(1);(2) 【解析】试题解析:解:(1)当时,;当时,两式相减得,又,所以是首项为,公比为2的等比数列,所以考点:1数列的递推公式;2错位相减求和21. 已知数列满足,令()求证:数列为等差数列;()求证:【答案】()证明见解析;()证明见解析【解析】试题分析:
8、()先将代入可得,再展开,两边同除以即可证数列为等差数列;()先由()可得的通项公式,进而可得的通项公式,再利用裂项法可得,进而可证()由()知, 8分 10分由于 13分于是 15分考点:1、等差数列的定义;2、等差数列的通项公式;3、数列的“裂项”求和;4、不等式的证明22. 设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.()求数列的通项公式;()记,证明.【答案】();().【解析】试题解析:()解:,曲线在点处的切线斜率为.从而切线方程为.令,解得切线与轴交点的横坐标.()证:由题设和()中的计算结果知.当时,.当时,因为,所以.综上可得对任意的,均有.【考点定位】1.曲线的切线方程;2.数列的通项公式;3.放缩法证明不等式.