1、高考资源网（） 您身边的高考专家要点导学各个击破函数的性质问题(2014江西模拟)已知函数f(x)=的值域是-8,1,求实数a的取值范围.解答当0x4时,f(x)-8,1;当ax0时,f(x),所以-8,1,即-8-1,即-3a0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析因为f(x)是偶函数,所以不等式f(x-1)0f(|x-1|)f(2),又因为f(x)在0,+)上单调递减,所以|x-1|2,解得-1x0,cR.当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2.(1) 求函数f(x)的表达式;(2) 若方程f(x)=x+a(aR)至少有两个不相等的实数根,求a的取值范围.解答(1) 因为当且仅当
2、x=-2时,函数f(x)取得最小值-2,二次函数y=x2+bx+c的对称轴x=-0),方程:x2+4x+2=x+a(x0).分别研究方程和方程的根的情况(如图所示):() 方程有且仅有一个实数根a2,方程没有实数根a2.() 方程有且仅有两个不相等的实数根,即方程x2+3x+2-a=0有两个不相等的非正实数根,所以解得-a2;(例2)方程有且仅有一个实数根,即方程x2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根,所以2-a2或a=-.综上可知,当方程f(x)=x+a(aR)有三个不相等的实数根时,-a2;当方程f(x)=x+a(aR)有且仅有两个不相等的实数根时,a=-或a=2.故实数a的取值范围
3、是.函数的综合问题 已知函数f(x)=,函数g(x)=log3x.(1) 若g(mx2+2x+m)的值域为R,求实数m的取值范围.(2) 当x-1,1时,求函数y=f(x)2-2af(x)+3的最小值h(a).(3) 是否存在实数m,n(mn),使得函数y=2x+log3f(x2)的定义域为m,n,值域为4m,4n?若存在,求出m,n的值;若不存在,则说明理由.思维引导(1) 值域为R,即真数可以取到大于0的一切值,结合图象可以求解;(2) 令t=,然后转化为关于t的二次函数,注意t的取值,然后求最值;(3) 利用单调性建立关于m,n的方程,然后进行求解.解答(1) 因为g(x)=log3x,
4、所以y=g(mx2+2x+m)=log3(mx2+2x+m).令u=mx2+2x+m,则y=log3u.当m=0时,u=2x,y=log32x的值域为R;当m0时,因为y=log3u的值域为R,所以解得0m1.综上,实数m的取值范围是0,1.(2) y=f(x)2-2af(x)+3=-2a+3=-2a+3,x-1,1.令t=,t,则y=t2-2at+3,对称轴为t=a,当a3时,h(a)=y(3)=12-6a.综上所述,h(a)=(3) y=2x+log3f(x2)=2x+log3=-x2+2x,所以y=-(x-1)2+11,所以4n1,即n.而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1,所以当n
5、时,y(x)在m,n上单调递增.若满足题设条件的m,n存在,则即又因为m1,a1)的图象关于原点对称. (1) 求实数m的值;(2) 判断函数f(x)在区间上(1,+)的单调性,并加以证明;(3) 当a1,x(t,a)时,函数f(x)的值域是(1,+),求a与t的值.规范解答(1) 因为函数f(x)=loga(a0,且a1)的图象关于原点对称,所以f(-x)+f(x)=0,即loga+loga=loga=0,所以=1,得m=1或m=-1. (2分)当m=1时,=-10,解得x1.所以符合条件的m的值为-1. (4分)(2) 由(1)得f(x)=loga,任取1x1x2,f(x2)-f(x1)=
6、loga-loga=loga. (6分)因为1x1x2,所以(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)=2(x1-x2)0,所以01. (8分)所以当0a0,即f(x2)-f(x1)0,此时f(x)为单调增函数;当a1时,loga0,即f(x2)-f(x1)1时,f(x)在(1,+)上为单调减函数.同理,f(x)在(-,-1)上也为单调减函数.当(t,a)(-,-1)时,f(a)f(x)f(t)0,与已知矛盾,舍去.(12分)当(t,a)(1,+)时,因为函数f(x)的值域为(1,+),所以f(a)=1且=0,解得t=-1,a=1+. (14分)1. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的
7、为.(填序号)y=x+1; y=-x2; y=; y=x|x|.答案2. 若x为实数,x表示不超过x的最大整数,则下面关于定义域在R上的函数f(x)=x-x的说法正确的是. (填序号)奇函数; 偶函数; 单调增函数; 周期函数.答案3. (2014四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=则f=.答案1解析f=f=-4+2=1.4. (2014厦门模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0x2时,f(x)=x(2-x),则f(-5)=.答案-1解析f(-5)=-f(5)=-f(1)=-1(2-1)=-1.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第29-30页).- 7 - 版权所有高考资源网
