1、第3讲导数及其应用1(2015陕西)设f(x)xsin x，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数2(2014课标全国)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)3(2014辽宁)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B6，C6，2 D4，34(2013安徽)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x10)与曲线C2：x2y2的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线
2、互相垂直，则实数a的值是_热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2(2015重庆)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在
3、函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3(2015北京改编)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)当x1，时，求f(x)的最小值思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求
4、函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D36在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_7已知函数f(x)的定义域为R，f(
5、x)为f(x)的导数，函数f(x)的图象如图所示，且f(2)f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为_8已知函数f(x)4ln xax26xb(a，b为常数)，且x2为f(x)的一个极值点，则a的值为_9(2015重庆)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性10已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)a2成立，求实数m的取值范围学生用书答案精析第3讲导数及其应用高考真题体验1Bf(x)xsin x的定义域为R，关于原点对称，且f(x)xsin(x)xsin xf(x)，故
6、f(x)为奇函数又f(x)1cos x0恒成立，所以f(x)在其定义域内为增函数，故选B.2Bf(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f()0，则f(x)的大致图象如图1所示不符合题意，排除A、C.图1当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x(，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.当x2,0)时，a，amin.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a
7、2.4Af(x)3x22axb；由已知x1，x2是方程3x22axb0的不同两根，当f(x1)x10)，得a4.例2解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数由f(x
8、)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.跟踪演练2(1)B(2)(，)解析(1)由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得00，解得a.所以a的取值范围是(，)例3解(1)函数的定义域为(0，)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)由(1)知，当即ke时，f(x)minf().当1即1ke时，f(x)minf().当1即0k1时，f(x)minf(
9、1).故函数f(x)在1，上的最小值f(x)min跟踪演练3解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得a的取值范围是(1，)高考押题精练1Cyf(x)ln x的定义域为(0，)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率kf(x0).切线方程
10、为yy0(xx0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y01，则x0e，k.2A由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.32解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4.解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函
11、数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.二轮专题强化练答案精析第3讲导数及其应用1C根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f(x)0的点可以排除B.2Cf(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.3Df(x)ln x(x0)，所以f(x).由f(x)0，解得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数x2为f(x)的极小值点4Af(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件5A令f(x)ln x，则f(x)，当x，1)时，f(x)0，f(x)在
12、，1上单调递减，在1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0.63解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.7x|2x3或3x2解析由导函数f(x)的图象可知，当x0；当x0时，f(x)1，所以2x263，所以2x3或3x1的解集为x|2x3或3x281解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax6，f(2)24a60，即a1.9解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或
13、x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数10解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x2，x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，x1时f(x)的最大值为，x2时函数取得最
14、小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a0)，问题转化为a在(0，)上有两个实数解设g(x)，则g(x).所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)在x1处取得极大值也是最大值，即g(x)maxg(1).注意g()0，当x1时，g(x)0，则g(x)的大致图象如图所示由图象易知0a0)当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数当a0时，若0x0，故f(x)在(0, 上是增函数；若x ，则f(x)0，故f(x)在 ，)上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当aa2成立，等价于maa2f(x)max.因为a(4，2)，所以 2a，即ma2.因为a(4，2)，所以2a20.所以实数m的取值范围为m2.