1、数学广角数与形教材分析数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，如果是第个图，小圆的个数是。等学生将来学习了等差数列的有关知
2、识，就知道第个图形中小圆的个数是。而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。本单元教材以“”“”为例，引导学生认识利
3、用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。一、与实验教材（义务教育课程标准实验教科书数学六年级，下同）的主要区别新教材把义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新编“数形结合”的内容。本册的数学广角，编排了一个新的内容数与形。二、教材例题分析例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和。在计算时，即使不借助图形，也可以通过，发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方。但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，
4、因此，小正方形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。例2：等比数列之和等于1。本例让学生计算的得数。学生在计算的过程中发现，加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型
5、和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1。由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题。但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1这一事实不能理解，这也是非常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以追问：如果再加上一项呢？加上，和就变成了。不管找到一个多么接近1的数，总还能再加一项，得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理：本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律。
6、教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题：（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。教师教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性。总之，要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力。（二）引导学生从
7、多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用图形的规律，从不同角度用自己的语言描述出数列的通用表达式，进而达到渗透数形结合、抽象概括等数学思想的教学目的。数学广角数与形重难点突破 一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律突破建议：1引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含
8、的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12，22，32，的结论；也可以使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，的结论。也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，有的学生可能很快发现4=22，9=32，此时老师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么。从而对规律形成更为直观的认识。2充分发挥教师的指导作用，
9、让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想突破建议：1在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想。本单元教学通过数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律。例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想。2在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想。例如，在例2教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。