1、第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第333页A组基础保分练1(2021成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值解析：(1)由题意，得2b4，又a2c2b2，a3，b2，c1.椭圆方程为1.(2)由(1)，可知A(3,0)，B(3,0)，F1(1,0)，据题意，F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆的另一交点为M(如图)，设M(x1，y1)
2、(y10)，M(x2，y2)，F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2)，联立消去y，得14x227x90.x1x2，x1，x2，k1，k2.3k12k2320，即3k12k2的值为0.2(2021广州四校联考)设斜率不为0的直线l与抛物线x24y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.(1)若直线l过点(0,4)，证明：OAOB；(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关证明：设直线l的方程为ykxm，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)依题意，两式相乘得(x1x2)216y1y2，若直线l过点(0,4
3、)，则直线l的方程为ykx4，将直线l的方程代入抛物线x24y，得x24kx160，易知0，x1x216，y1y216，x1x2y1y20，0，OAOB.(2)设C(x3，y3)，D(x4，y4)联立ykxm和x24y，化简得x24kx4m0，易知0，则x1x24k，x1x24m，k1k2k，联立ykxm和1，化简得(23k2)x26kmx3m2120，在(6km)24(23k2)(3m212)0的情况下，x3x4，x3x4，k3k42k2k2k，是一个与直线l的斜率k无关的值B组能力提升练1(2021顺义区模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，长轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率
4、为1的直角l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且(，R)，其中O为原点求证：221.解析：(1)设椭圆的焦距为2c，有，故有a23b2.a，b1，从而椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(，R)，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又点M在椭圆C上，有(x1x2)23(y1y2)23.整理可得：2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3.又右焦点F的坐标为(，0)，AB所在的直线方程为yx.联立消去y得4x26x30，x1x2，x1x2，x1x23y1y24x1x23(x1x
5、2)63960.又点A，B在椭圆C上，故有x3yx3y3.将，代入可得，221.2已知曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，且曲线C2的离心率为.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k14k20时，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解析：(1)曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，r2，b2，曲线C1的方程为x2y24.曲线C2的离心率为，e21，a4，曲线C2的方程1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的
6、方程为yk1x2，代入到x2y24，消去y，可得(1k)x24k1x0，解得x0或x1，y1，直线PB的方程为yk2x2，代入方程1，消去y，可得(14k)x216k2x0，解得x0或x2，y2.k14k2，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，即yx2，所以直线AB恒过定点(0,2)C组创新应用练(2021大同调研)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率e.(1)设E是直线yx2与椭圆的一个交点，求|EF1|EF2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N(0,1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l
7、在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由解析：(1)e，椭圆的方程可化为1，将1与yx2联立，消去y化简得4x212x123b20，由14416(123b2)0，解得b21，即b1，|EF1|EF2|2a2b2，当且仅当b1时，|EF1|EF2|取最小值2，椭圆的方程为y21.(2)设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为ykxt，代入y21，消去y整理得，(13k2)x26ktx3t230，直线l与椭圆交于不同的两点，1(6kt)212(t21)(13k2)0，即t213k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为Q，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，AB的中点Q的坐标为，当k0时，化简得13k22t，代入t213k2得2t0，又2t13k21，t，故2t.当k0时，1t1.综上，k0时，直线l在y轴上截距的范围为；k0时，直线l在y轴上截距的范围为(1，1)
