1、第三章基本初等函数()第1讲指数式与指数函数1若点(a,9)在函数y3x的图象上，则tan的值为()A0 B. C1 D.2在同一坐标系中画出函数ylogax，yax，yxa的图象，可能正确的是() 3下列函数中值域为正实数的是()Ay5x By1-xCy Dy4若函数f(x)axb1(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A0a1 Ba1且b0C0a1且b1且b0，b0，则ab的最大值为()A. B. C2 D46已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0，NxR|g(x)2，则MN为()A(1，) B(0,1)C(1,1) D(，1)8(201
2、2年上海)方程4x2x+130的解是_9已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域； (3)证明：f(x)在(，)上是增函数10已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围第2讲对数式与对数函数1(2012年安徽)log29log34()A. B.C2 D42(2011年北京)如果 xy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1y0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间10，)上是增函数，求实数k的取值范围第3讲一次函数、反
3、比例函数及二次函数1设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，如果f(x1)f(x2)(x1x2)，那么f()A B Cc D.2函数f(x)ax2bxc与其导函数f(x)在同一坐标系内的图象可能是() 3若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,14设b0，二次函数yax2bxa21的图象为图K331所示的四个图中的一个，则a的值为()图K331A1 B.1C. D.5函数y的图象是()6设非空集合Sx|mxl满足：当xS时，有x2S.给出如下三个命题：若m1，则S1；若m，则l1；若l，则m0.其
4、中正确命题的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个7若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.8(2012年上海)若不等式x2kxk10对x(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是_9函数f(x).(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为2,1，求实数a的范围10设函数f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b.求证：(1)a0，且3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|0时，幂函数是增函数；当0时，幂函数是减函数；
5、当0时，yx的图象是一条直线A0个 B1个C2个 D3个2设，则使yx为奇函数，且在(0，)上单调递减的值的个数为()A1个 B2个 C3个 D4个3在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是() A B C D4幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，) C(，0) D(，)5已知幂函数f(x)xa部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是()Ax|0x Bx|0x4Cx|4x4 Dx|x6(2012年广东广州一模)已知幂函数y(m25m7)在区间(0，)上单调递增，则实数m的值为()A3 B2C2或3 D2或37已知函数f(x)，若对任意
6、一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”在函数：f1(x)，f2(x)x，f3(x)x2中，其中_是“保三角形函数”(填上正确的函数序号)8请把图K341所示的幂函数图象的代号填入表格内图K341y；yx-2；y；yx-1；y；y；y；y.函数代号图象代号ECAGBDHF9将下列各数从小到大排列起来：，3，0，(2)3，.10已知函数f(x)(m2m1)x-5m-3，当m为何值时，f(x)是：(1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，)上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)二次
7、函数第5讲函数的图象1已知函数f(x)|lgx|.若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是()A(1，) B1，) C(2，) D2，)2若实数t满足f(t)t，则称t是函数f(x)的一个次不动点设函数f(x)lnx与函数g(x)ex的所有次不动点之和为m，则()Am1 D0mCm Dm4(2012年湖北)已知定义在区间(0,2)上的函数yf(x)的图象如图K351，则yf(2x)的图象为()图K3515已知定义在区间上的函数yf(x)的图象关于直线x对称，当x时，f(x)sinx，如果关于x的方程f(x)a有解，记所有解的和为S，则S不可能为()A B C D6已知函数f(x)如果方程
8、f(x)a有四个不同的实数根，求实数a的取值范围7已知函数f(x)x3mx2，其中m为实数(1)函数f(x)在x1处的切线斜率为，求m的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在x2处取得极值，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，求a的取值范围第6讲函数与方程1设函数f(x)若f(a)4，则实数a()A4或2 B4或2C2或4 D2或22函数f(x)cosx在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点3若关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，则k的取值范围是()A. B.C. D.4函数f(x)的零点个数是()A0个
9、B1个 C2个 D3个5(2013年天津)设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23. 若实数a, b满足f(a)0，g(b)0, 则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a) C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0，y0，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数C指数函数 D余弦函数2已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)0；f1时，f(x)0，f(2)1.(1)求f的值；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)求方程4sin xf(x)的根的个数10设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且对任意a，b1,1
10、，当ab0时，都有0.(1)若ab，比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式fq0，比较上述三种方案，提价最多的是()A甲 B乙 C丙 D一样多6有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图K381)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)图K3817(2012年广东广州二模)某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200元，则不予优惠；如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；如果超过500元，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠某两人去购物
11、，分别付款170元和441元，若他们合并去一次购买上述同样的商品，则可节约_元8某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.025x，y1.003x，ylnx1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？并说明理由(参考数据：1.0036006，e2.718 28，e82981)第三章基本初等函数()第1讲指数式与指数函数1D2.D3.B4.C5B解析：g(a)g(b)2
12、，2a2b2a+b2，则ab1.又a0，b0，ab.故选B.6B7D解析：由fg(x)0得g2(x)4g(x)30，则g(x)3，即3x23，所以xlog35；由g(x)2，得3x22即3x4，所以x0)，则原方程可化为t22t30，解得t3或t1(舍)，即2x3，xlog23.所以原方程的解为log23.9(1)解：对于任意实数x，函数y都有意义，函数的定义域为R.(2)解法一：f(x)1，2x0,2x11,02，110，得0，解得1y1.f(x)的值域为(1,1)(3)证明：任取x1，x2R，设x1x2，则0, 10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以y在(，)上是增函数
13、10解：(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.当a2时，函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增，f(x)0对x(1,1)都成立f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立ex0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立即ax1对x(1,1)都成立令yx1，则y10，yx1在(1,1)上单调递增y11，a.即a的取值范围是.第2讲对数式与对数函数1D2.D3.A4D解析：分0a1两种情况进
14、行讨论5D解析：根据公式变形，a1，b1，c1，因为lg7lg5lg3，所以，即cba.故选D.6B7C解析：显然f(x) x，从而得f(4x2) (4x2)，其定义域为(2,2)，当x(2,0)时，4x2单调递增；当x0,2)时，4x2单调递减故选C.8.a0.化简得0对一切xR恒成立，当a210时，必须有即a.当a210时，a1，当a1时，f(x)0满足题意，当a1时不合题意故a1或a.(2)依题意，只要t(a21)x2(a1)x1能取到(0，)的任何值，则f(x)的值域为R，故有即10，得(kx1)(x1)0.又k0，(x1)0.当k1时，函数f(x)的定义域为；当0k1时，函数f(x)
15、的定义域为.(2)f(x)lnln(k)，函数f(x)在区间10，)上是增函数，k10，即k0k.综上所述，实数k的取值范围为：.第3讲一次函数、反比例函数及二次函数1D2.C3.D4.B5.B6D解析：若m1，则S，l1，x2，l2l，0l1.l1.S；若m，则m2，l，S，x2，l2l，0l1，l1；若l，则S，若m0，则x2，m20对x(1,2)恒成立，即不等式x21k(x1)对x(1,2)恒成立，x10，kx1对x(1,2)恒成立，k2.9解：(1)对于xR，(1a2)x23(1a)x60恒成立若a1时，原不等式变为60，此时xR.若a1时，则解得a2c2b，3a0,2b0，b2c2b
16、，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根，x1x2，x1x2.|x1x2|.3，02.|x1x2|0，所以m3.7解析：不妨设abc，()2ab2 c()2，；式显然成立； 中，假设a2，b3，c4，有abc，而a2b2c2不能成三角形的三边故选.89解：其中(2)31，01,01,01，3.因此3.同理可得到.(2)30.4B解析：特殊值法：当x2时，yf(2x)f(22)f(0)0，故可排
17、除D项；当x1时，yf(2x)f(21)f(1)1，故可排除A，C项5A解析：作函数yf(x)的草图，对称轴为x，当直线ya与函数有两个交点(即有两个根)时，x1x22；当直线ya与函数有三个交点(即有三个根)时，x1x2x32；当直线ya与函数有四个交点(即有四个根)时，x1x2x3x44.故选A.6解：将f(x)的解析式整理，得f(x)令y1f(x)，y2a，则方程f(x)a有四个不同的实数根等价于函数y1与y2的图象有四个不同的交点，在同一坐标系中画出y1的图象如图D64，由图象可知a(0,2)图D647解：(1)f(x)x22mx，f(1)12m，由12m，解得m.(2)f(x)x22
18、mxx(x2m)当m0时，f(x)x3，在(，)上单调递增； 当m0时，x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x(，2m)2m(2m,0)0(0，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增函数f(x)的单调递增区间是(，2m)和(0，)，单调递减区间是(2m,0)当m0时，f(x)的单调递增区间是(，2m)和(0，)，单调递减区间是(2m,0)；当m0时，f(x)的单调递增区间是(，0)和(2m，)，单调递减区间是(0，2m)(3)由题意f(2)0，解得m1.所以f(x)x3x2.由(2)知f(x)在区间(，2)上单调递增，在(2,0)上单调递减，(0，)上单调递增，所以f(x)极
19、大值f(2)，f(x)极小值f(0)0.图D65如图D65，要使直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，只需0a1，cosx1，所以f(x)cosx0.在x，f(x)sinx0，所以函数f(x)cosx是增函数，又因为f(0)1，f0，所以f(x)cosx在x上有且只有一个零点3B4D解析：令x(x1)0，得x0或1，满足x0；当x0时，lnx与2x6都是增函数，f(x)lnx2x6(x0)为增函数f(1)40，f(x)在(0，)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点5A解析：f(0)f(1)0，f(a)0,0a1，g(1)g(2)0，g(b)0,1b0，g(a)0，所以函数f(x)在
20、区间1,2上为增函数若存在零点，则解得a1b82a.因此能使函数在区间1,2上有零点的有：a1,2b10，故b2，b4，b8；a2,3b12，故b4，b8，b12；a3,4b14，故b4，b8，b12；a4，5b16，故b8，b12.根据古典概型可得有零点的概率为.71解析：f(1)ln320，f(2)ln410，f(1)f(2)0.函数f(x)的零点所在区间是(1,2)，故n1.8A解析：由2x1x1，得x0，此时f(x)(2x1)*(x1)(2x1)22(2x1)(x1)12x，由2x1x1，得x0，此时f(x)(2x1)*(x1)(x1)2(2x1)(x1)x2x，f(x)(2x1)*(
21、x1)如图D67，作出函数的图象可得，要使方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则0x2x31，且x2和x3，关于x对称，x2x321.则x2x32，0x2x3，等号取不到当2x时，解得x，x10.0x2x3，x1x2x30.即x1x2x3的取值范围是.图D679解：将圆x2y22axa210与抛物线y2x联立，消去y得：x2xa210.(1)因为有两个公共点：方程有一正根、一负根；或有两个相等的正根，当方程有一正根、一负根时，有x1x2a210，解得1a1.当方程有两个相等的正根时，有解得a.因此，当a或1a1时，圆x2y22axa210与抛物线
22、y2x有两个公共点(2)有一个公共点：方程一根为零另一根为负根，即a1.(3)有三个公共点：方程一根为零另一根为正根，即a1.(4)有四个公共点： 方程有两不相等正根，即解得1a.(5)没有公共点： 方程无实根或有两负根，即或a1.10(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增f(x)在区间0,1上存在唯一零点f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点取区间0,1作为起始区间，用二分法逐次计算如下：f(0.5)0.60，而f(0)0，极值点所在区间是0,0.5；又f(0.3)0.50，g(x)在1，)上单调递增g(x)ming(1)e1
23、，a的取值范围是a|ae1第7讲抽象函数1C解析：假设f(x)ax，f(x)f(y)axayaxyf(xy)2B解析：由条件得f(a3)f(a29)，即a(2 ，3)，故选B.3C4C解析：方法一：由条件知，f(2)3，f(3)，f(4)，f(5)f(1)2，故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期为4，故f(2011)f(3).方法二：严格推证如下：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)即f(x)周期为4.故f(4kx)f(x)(kN*)，下同方法一5B解析：选项A，满足f(xy)f(x)f(y)；选项C满足f(xy)f(x)f(y)；选项D，满足f(xy).6C7.811解析：因为
24、f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，所以令x0，y0，得f(0)f(0)2f2(0)，所以f(0)1或f(0)0(舍去)又令x，y，则f()f(0)2f2，所以f()1.又令x，y，则f(2)f(0)2f2()，所以f(2)1.9(1)解：令mn1，则f(11)f(1)f(1)f(1)0.令m2，n，则f(1)ff(2)f.ff(1)f(2)1.(2)证明：设0x11.当x1时，f(x)0，f0.f(x2)ff(x1)ff(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(3)解：y4sin x的图象如图D68，由图可知y最大值为4，又f(4)f(22)2f(2)2，f(16)f(44)2f(4)4.
25、由yf(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，f(16)4，可得f(x)的图象如图D68，由图可知，y4sin x的图象与yf(x)的图象在0,2内有1个交点，在(2，4内有2个交点，在(4，5内有2个交点，又5166，所以总共有5个交点方程4sin xf(x)的根的个数是5.图D6810解：设1x10.x1x20，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)f(x1)b，f(a)f(b)(2)由ff，得x.不等式的解集为.(3)由1xc1，得1cx1c.Px|1cx1c由1xc21，得1c2x1c2.Qx|1c2x1c2PQ，1c1c2.解得c2或c
26、1.c的取值范围是(，1)(2，)第8讲函数模型及其应用1C2.A3.C4.D5.C62500 m2解析：方法一：设所围场地的长为x，则宽为，其中0x200，场地的面积为x22500 m2，当且仅当x100时等号成立方法二：场地的面积为x(x2200x)(x100)22500，当x100时，有最大值2500.749解析：1702000.9180,441200，y5，不满足公司的要求； (2)对于y1.003x，易知满足；但当x600时，y6，不满足公司的要求； (3)对于ylnx1，易知满足.当x10,1000时，yln10001.y5ln100015(ln1000lne8)0，满足.设F(x)2lnx4x，F(x)10(x10,1000)F(x)在10,1000为减函数F(x)maxF(10)2ln104102(ln103)0，满足.综上所述，只有奖励模型：ylnx1能完全符合公司的要求