1、2022精编复习题（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一般难度题全员必做 1(2021郑州质检)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y1相切(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点解：(1)由题意得，点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y1的距离，由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y1为准线的抛物线，则1，p2.圆心M的轨迹方程为x24y.(2)设直线l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x2，y2)，联立消去y整理得x24kx80，x1x24k
2、，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1)即yy1(xx1)xx，x1x28，yxx2，即直线AC恒过定点(0,2)2在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：y21上的非坐标轴上的点，且4kOAkOB10(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)(1)证明：xx，yy均为定值；(2)判断OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOAkOB10，得10，化简得y2，因为点A，B在椭圆上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.结合得x4y，同理
3、可得x4y，从而xx4yx4，为定值，yyy1，为定值(2)SOAB|OA|OB|sinAOB |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面积为定值1.3(2021广州惠州调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2
4、a|AF1|AF2|2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.又3t3，所以y4b0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得0.若
5、存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.设P(xP，yP)，则xP，yPkxPmm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故解得t1.存在点M(1,0)符合题意2(2021河北质检)已知椭圆E：1的右焦点为F(c,0)，且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；
6、(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4
7、(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去存在满足条件的直线l，其方程为yx.较高难度题学霸做1如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)由条件可得c2a2b21，故F点坐标为(1,0)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1
8、x2.故点G的横坐标为，解得k，故直线AB的斜率为或.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直，即直线AB斜率存在且不为零由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.2(2021广西陆川县模拟)已知椭圆D：x21的左焦点为F，其左，右顶点为A，C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线xy0上(1)求椭圆D的方程；(2)已知直线l：x，N是椭圆D上的动点，MNl，垂足为M，问：是否存
9、在点N，使得FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，圆心P既在边FC的垂直平分线上，也在边BC的垂直平分线上，F(c,0)，则边FC的垂直平分线方程为x，因为边BC的中点坐标为，直线BC的斜率为b，所以边BC的垂直平分线的方程为y，联立，解得m，n，因为P(m，n)在直线xy0上，所以0，即(1b)(bc)0，因为1b0，所以bc.由b21c2，得b2c2，所以椭圆D的方程为x22y21.(2)由(1)，知F，椭圆上的点的横坐标满足1x1，设N(x，y)，由题意得M(，y)，则|MN|x|，|FN|，|MF| .若|MN|FN|，即|x| ，与x22y21联立，解得x1，显然不符合条件；若|MN|MF|，即|x| ，与x22y21联立，解得x或x1(显然不符合条件，舍去)，所以满足条件的点N的坐标为；若|FN|MF|，即 ，与x22y21联立，解得x0或x1(显然不符合条件，舍去)，所以满足条件的点N的坐标为.综上，存在点N或，使得FMN为等腰三角形
