1、第六节 对数与对数函数授课提示:对应学生用书第281页A组基础保分练1.(2020高考全国卷)设alog342,则4a()A.B.C. D.解析:法一:因为alog342,所以log34a2,所以4a329,所以4a.法二:因为alog342,所以a2log43log432log49,所以4a91.答案:B2.函数y的定义域是()A.1,2 B.1,2)C. D.解析:由即解得x.答案:C3.(2021吕梁模拟)已知alog35,b1.51.5,cln 2,则a,b,c的大小关系是()A.cab B.cbaC.acb D.abc解析:1alog35log325log3271.5,b1.51.5
2、1.5,cln 21,所以cab.答案:A4.已知x,aln x,b2ln x,cln3x,那么()A.abc B.cabC.bac D.bca解析:由于x1,故xx2,故ln xln x22ln x,所以ab.caln3xln xln x(ln2x1),由于ln x0,|ln x|ln 21,ln2x10,所以ln x(ln2x1)0,故ca.答案:C5.若定义在区间(1,0)内的函数f(x)log2a(x1)满足f(x)0,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.(0,)解析:因为1x0,所以0x11.又因为f(x)0,所以02a1,所以0a.答案:A6.(2021西安模拟)设方程10
3、x|lg(x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x20 B.x1x20C.x1x21 D.0x1x21解析:作出y10x与 y|lg(x)|的大致图像,如图所示.显然x10,x20.不妨令x1x2,则x11x20,所以10x1lg(x1),10x2lg(x2),此时10x110x2,即lg(x1)lg(x2),由此得lg(x1x2)0,所以0x1x21.答案:D7.已知2x72yA,且2,则A的值是_.解析:由2x72yA得xlog2A,ylog7A,则logA22logA7logA982,A298.又A0,故A7.答案:78.已知函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2,)上单调
4、递减,则a的取值范围为_.解析:令g(x)x2ax3a,因为f(x)log0.5(x2ax3a)在2,)上单调递减,所以函数g(x)在区间2,)内单调递增,且恒大于0,所以a2且g(2)0,所以a4且4a0,所以4a4.答案:(4,49.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0,且a1),且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间上的最大值.解析:(1)因为f(1)2,所以loga42(a0,且a1),所以a2.由得1x3,所以函数f(x)的定义域为(1,3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24,所以当
5、x(1,1时,f(x)是增函数;当x(1,3)时,f(x)是减函数,故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.10.已知函数f(x)log4(ax22x3).(1)若f(1)1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解析:(1)f(1)1,log4(a5)1,得a1,故f(x)log4(x22x3).由x22x30,得1x3,函数定义域为(1,3).令g(x)x22x3,则g(x)在(1,1)上递增,在(1,3)上递减,又ylog4x在(0,)上递增,所以f(x)的单调递增区间是(1,1),递减区间是(1,3).(2
6、)假设存在实数a使f(x)的最小值为0,则h(x)ax22x3应有最小值1,因此解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.B组能力提升练1.函数f(x)|loga(x1)|(a0,且a1)的图像大致是()解析:函数f(x)|loga(x1)|的定义域为x|x1,且对任意的x,均有f(x)0,结合对数函数的图像可知选C.答案:C2.函数ylogax与yxa在同一平面直角坐标系中的图像可能是()解析:当a1时,函数ylogax的图像为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数yxa的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图像都不符合要求;当0a1时,函数ylogax的图像为选项A,
7、C中过点(1,0)的曲线,此时函数yxa的图像与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1,选项A中的图像符合要求.答案:A3.已知函数f(x)|ln x|.若0ab,且f(a)f(b),则a4b的取值范围是()A.(4,) B.4,)C.(5,) D.5,)解析:由f(a)f(b)得|ln a|ln b|,根据函数y|ln x|的图像及0ab,得ln aln b,0a1b,b.令g(b)a4b4b,易得g(b)在(1,)上单调递增,所以g(b)g(1)5,即a4b5.答案:C4.若log2xlog3ylog5z1,则()A.2x3y5z B.5z3y2xC.3y2x5z D.5z2x3y解析:设log
8、2xlog3ylog5zt,则t1,x2t,y3t,z5t,因此2x2t1,3y3t1,5z5t1.又t1,所以t10,由幂函数yxt1的单调性可知5z3y2x.答案:B5.(2020高考全国卷)已知5584,13485.设alog53,blog85,clog138,则()A.abc B.bacC.bca D.cab解析:log53log85log530,log53log85.5584,13485,5log854,45log138,log85log138,log53log85log138,即abc.答案:A6.(2021黄石模拟)已知x1log2,x22,x3满足log3x3,则()A.x1x
9、2x3 B.x1x3x2C.x2x1x3 D.x3x1x2解析:由题意可知x3是函数y1与y2log3x的图像交点的横坐标,在同一直角坐标系中画出函数y1与y2log3x的图像,如图所示,由图像可知x31,而x1log20,0x221,所以x3x2x1.答案:A7.已知函数f(x)若存在实数a,b,c,d,满足f(a)f(b)f(c)f(d),其中dcba0,则abcd的取值范围_.解析:由题意可得log3alog3bc2c8d2d8,可得log3(ab)0,故ab1.结合函数f(x)的图像,在区间3,)上,令f(x)1可得c3,d7,cd21.令f(x)0可得c4,d6,cd24.故有21a
10、bcd24.答案:(21,24)C组创新应用练1.(2020新高考全国卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28,T6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天解析:由R01rT,R03.28,T6,得r0.38
11、.由题意,累计感染病倒数增加1倍,则I(t2)2I(t1),即e0.38t22e0.38t1,所以e0.38(t2t1)2,即0.38(t2t1)ln 2,t2t11.8.答案:B2.(2021朝阳模拟)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作H)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L,记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlgH,健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间,那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 20.30,lg 30.48)()A. B.C. D.解析:由题意可得pHlgH(7.35,7.45),且HOH1014,lglglg H2142lgH14.7.35lgH7.45,7.45lgH7.35,0.92lgH140.7,即0.9lg0.7.lglg 20.30,故A错误;lglg 30.48,故B错误;lglg 6(lg 2lg 3)0.78,故C正确;lg1,故D错误.答案:C3.已知函数f(x)ln,若f(a)f(b)0,且0ab1,则ab的取值范围是_.解析:由题意可知lnln0,即ln0,从而1,化简得ab1,故aba(1a)a2a.又0ab1,0a,故0,即ab.答案: