1、课时作业(十九)1过点(0，1)与抛物线y2mx(m0)只有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条 D由m的取值确定答案C解析数形结合，一条是y轴，一条是y1，另一条由判别式0可求出2若过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为()A4 B4Cp2 Dp2答案B解析特例法当直线垂直于x轴时，A(，p)，B(，p)，4.3过点(0，2)的直线与抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A2 B.C2 D.答案C解析设直线方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x24(k2)x40.直线与抛
2、物线交于A，B两点，16(k2)216k20，即k1.又2，k2或k1(舍去)，x1x21，|AB|x1x2|2.4直线ykxk与抛物线y22px(p0)的公共点个数是()A1 B2C1或2 D可能为0答案C5已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.答案C6过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值是()A2 B4C. D.答案A7设抛物线y24x的焦点为F，过点M(1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足0，则直线AB的斜率k()A. B
3、.C. D.答案B解析依题意，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，代入抛物线方程y24x并整理，得k2x2(2k24)xk20，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以(2k24)24k40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又因为0，所以(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k2(x11)(x21)0，(1k2)x1x2(k21)(x1x2)k210，把代入并整理，得k2，又k0，所以k.故选B.8过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则等于()A2a B.C4a D.答案C解析将yax2化为标准式为x2y.解法见
4、本节例3.9(2016全国甲卷，文)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1C. D2答案D解析根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PFx轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y上求出k.y24x，F(1，0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1，2)将点P(1，2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.10有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22x上，另一顶点在原点，则这个三角形的边长为_答案12解析根据对称性可设在第一象限内的顶点为(t，t)(t0)，则边长为2t.(t，t)在抛物线y22x上，t20.t6. 边长为12.11已知过
5、抛物线y24x的焦点F的弦长为36，弦所在的直线方程为_答案y(x1)或y(x1)解析由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为F(1，0)，直线方程为yk(x1)由整理，得k2x2(2k24)xk20.x1x2.|AB|AF|BF|x1x222.又|AB|36，236.解得k2，即k.所求直线方程为y(x1)或y(x1)12(2018北京)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_答案(1，0)13已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线C截直线y2x1所得的弦长为2.求抛
6、物线C的方程解析设C：x2ay，直线与抛物线C交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得x2a(2x1)，即x22axa0.4a24a0，a1或a1或a0)，点P(1，2)在抛物线上，222p1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，得.y12(y22)y1y24.由得直线AB的斜率为kAB1(x1x2)重点班选做题15过点P(2，4)，倾斜角为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C的
7、顶点在原点，x轴为对称轴若有|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的方程解析直线l的方程为yx2，设抛物线为y22ax(a0)，由消x，得y22ay4a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y24a，y1y22a.P，A，B三点共线，且|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，|y14|，|y1y2|，|y24|成等比数列|y14|y24|y1y2|2.|y1y24(y1y2)16|(y1y2)24y1y2且y1y2.|a4|a24a，且4a216a0，a1.所求抛物线方程为y22x.1抛物线y2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线yxm对称，且x1x2，
8、则m等于()A. B2C. D3答案A解析由已知得kAB1，而y2y12(x22x12)，得x2x1，且(，)在直线yxm上，即m，y2y1x2x12m，所以2(x22x12)x2x12m，2(x2x1)22x2x1x2x12m，所以2m3，m.故选A.2已知直线l：yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|2|BF|，则k的值是()A. B.C2 D.答案C解析根据题意，如图所示，直线m为抛物线的准线，经过A作AA1m，过点B作BB1m，垂足分别为A1，B1，过点B作BDAA1于点D，设|AF|2|BF|2r，则|AA1|2|BB1|2|A1D|2
9、r，所以|AB|3r，|AD|r，则|BD|2r.所以ktanBAD2.选C.3已知点A(2，1)，y24x的焦点是F，P是y24x上的点，为使|PA|PF|取得最小值，则P点的坐标是()A(，1) B(2，2)C(，1) D(2，2)答案A4已知M(a，2)是抛物线y22x上一定点，直线MP，MQ的倾斜角之和为，且分别与抛物线交于P，Q两点，则直线PQ的斜率为_答案解析易知M(2，2)设P(，y1)，Q(，y2)，由kMPkMQ，得，即y1y24，kPQ.5抛物线y22px(p0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y2x，斜边长是5，此抛物线方程为_答案y2x解析设AOB
10、为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y2x，则OB边方程为yx.由可得A点坐标为(，p)由可得B点坐标为(8p，4p)|AB|5， 5.p0，解得p，所求的抛物线方程为y2x.6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_答案(3，2)解析将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3，2)7若过抛物线y210x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则_答案8已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且16.(1)求抛物线的方程；(2)过点M(8，0)作直线l交抛物线于B，C
11、两点，求证：OBOC.解析(1)由题意设抛物线的方程为y22px(p0)，则点F的坐标为(，0)，不妨取点A的坐标为(2，2)，因为16，所以(2，2)(2，2)16，所以4p4p16，所以p4，所以y28x.(2)证明：设B，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xky8，由方程组得y28ky640，y1y28k，y1y264，因为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x2y1y2 (ky18)(ky28)y1y2 (k21)y1y28k(y1y2)640，所以OBOC.9过抛物线y24ax(a0)的焦点F，作互相垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|CD|的最小值解析由得k2x22a(k22)xa2k20.|AB|x1x22a|4a(1)同理|CD|4a(1k2)|AB|CD|4a(2k2)16a.当k1时，|AB|CD|取最小值16a.10设抛物线y22px(p0)的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：0.证明y22px(p0)的焦点F(，0)，准线为x.设Q(x0，y0)(x00)，则R(，y0)，直线OQ的方程为yx，此直线交准线x于P点，易求得P(，)y022px0，(p，)(p，y0)p2p2p20.