1、第六章 不等式、推理与证明第五节 合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异主干知识整合 01 课前热身稳固根基 知识点一 合情推理1归纳推理：(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)特点：是由_到_，由_到_的推理2类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_的推理(2)特点：
2、类比推理是由_到_的推理答案1(1)全部对象(2)部分 整体 个别 一般2(1)这些特征(2)特殊 特殊1判断正误(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(3)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*)()答案：(1)(2)(3)2(选修 11P32 练习第 1 题改编)已知数列an中，a11，n2 时，anan12n1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1解析：a11，a24，a39，a416，
3、猜想 ann2.答案：C3(选修 11P32 练习第 3 题改编)在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的底面积之比为 14，对应高之比为 12，所以体积比为 18.答案：18知识点二 演绎推理1模式：三段论(1)大前提已知的_；(2)小前提所研究的_；(3)结论根据一般原理，对_做出的判断2特点：演绎推理是由_到_的推理答案1(1)一般原理(2)特殊情况(3)特殊情况2一般 特殊4“因为指数函数 y
4、ax是增函数(大前提)，而 y13x是指数函数(小前提)，所以函数 y13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导致结论错C推理形式错误导致结论错D大前提和小前提错误导致结论错解析：当 a1 时，yax为增函数；当 0aax1x22成立运用类比思想方法可知，若点 A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数 ysinx(x(0，)图象上任意不同的两点，则类似地有_成立【解析】由题意知，点 A，B 是函数 yax的图象上任意不同的两点，该函数是一个变化率逐渐变大的函数，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有ax1ax22ax1
5、x22成立；而函数 ysinx(x(0，)，其变化率逐渐变小，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论sinx1sinx22sinx1x22.【答案】sinx1sinx22sinx1x22【总结反思】类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).平面几何中有如下结论：如图(1)，设 O 是等腰直角ABC底边 BC 的中点，AB1，过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q，R，则有 1AQ 1AR2.类比此结论，将其拓展到空间，如图(2)，设 O 是正三棱锥
6、 ABCD 底面 BCD 的中心，AB，AC，AD 两两垂直，AB1，过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q，R，P，则有_解析：设 O 到各个侧面的距离为 d，而 V 三棱锥 RAQP13SAQPAR1312AQAPAR16AQAPAR，又V 三棱锥 RAQPV 三棱锥 OAQPV 三棱锥OARPV三棱锥 OAQR13SAQPd13SARPd13SAQRd16(AQAPARAPAQAR)d，16AQAPAR16(AQAPARAPAQAR)d，即1AQ 1AR 1AP1d，而 V 三棱锥 ABDC13SBDCAO13 34 2 33 16.V 三棱锥 OABD13V 三
7、棱锥 ABDC 118，即13SABDd1312d 118d13，1AQ 1AR 1AP3.答案：1AQ 1AR 1AP3 热点三 演绎推理【例 4】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(nN*)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.【证明】证明：(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn，故 Sn1n12Snn，(小前提)故Snn 是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn 14(n1)Sn
8、1n14n12n1 Sn14an(n2)(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)【总结反思】演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.(1)有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6 号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是()A甲B乙C丙
9、D丁(2)已知在ABC 中，A30，B60，求证：ab.证明：A30，B60，AB.ab.其中，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论D三段论解析：(1)若甲猜测正确，则 4 号或 5 号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即 4 号和 5 号均不是第一名若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选 D.答案：(1)D(2)B1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是
10、由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)温示提馨请 做：课时作业 40（点击进入）类比推理命题的特点类比推理是由特殊到特殊的推理，借助类比推理可以推测未知、发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法这正像著名数学家波利亚所说的：“类比是一个伟大的引路人”因此，在解决某些数学问题时，若能合理地运用类比，可为问题的解决开辟一条便捷之路在近年各类考试中，类比推理题频频亮相下面就通过介绍类比推理的一些命题特点，揭示求解规律，希望对同学们求解此类问题有
11、所帮助1类比定义【例 1】等和数列的定义是：若数列an(nN*)从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和如果数列an是等和数列，且 a11，a23，则数列an的一个通项公式是_【解析】由定义知公和为 4，且 anan14(n2，nN*)，那么 an2(an12)，依次类推，于是有 an2(1)n1(a12)因为 a11，所以 an2(1)n.【答案】an2(1)n2类比性质【例 2】我们知道：圆的任意一弦(非直径)的中点和圆心的连线与该弦垂直，那么，若椭圆 b2x2a2y2a2b2 的一弦(非过原点的弦)的中点与原点连线及弦所在直线的斜率
12、均存在，你能得到什么结论？请予以证明【解】假设在圆中，弦(非直径)所在直线的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由两线垂直，我们可以知道两斜率之积为1.对于方程 b2x2a2y2a2b2，若 ab，则方程为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为b2a2或a2b2.于是，设椭圆的弦 AB 的两端点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 P，则b2x21a2y21a2b2，b2x22a2y22a2b2b2(x22x21)a2(y22y21)0y2y1x2x1y2y1x2x1b2a2kOPkABb2a2，即两斜率之积为b2a2.3类比方法【例 3】已知 O 是ABC 内任意一点，连接
13、 AO，BO，CO并延长交对边于 A，B，C，则OAAAOBBBOCCC1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”OAAAOBBBOCCCSOBCSABCSOCASABCSOABSABCSABCSABC1.请运用类比思想，对于空间中的四面体 A-BCD，存在什么类似的结论？并证明【解】在四面体 A-BCD 中，任取一点 O，连接 AO，DO，BO，CO 并延长分别交四个面于 E，F，G，H 点则OEAEOFDFOGBGOHCH1.在四面体 O-BCD 与 A-BCD 中，OEAEhO-BCDhA-BCD13SBCDhO-BCD13SBCDhA-BCDVO-BCDVA-BCD.同理，OFDFVO-ABCVDABC，OGBGVO-ACDVB-ACD，OHCHVO-ABDVC-ABD，OEAEOFDFOGBGOHCHVO-BCDVO-ABCVO-ACDVO-ABDVA-BCDVA-BCDVA-BCD1.