1、第八章 平面解析几何第二节 直线的交点与距离公式1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 两条直线平行与垂直的判定1两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2_.特别地，当直线 l1、l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2的关系为_2两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 斜率存在，设为 k1，k2，则 l1l2_.答案1k1k2 平行 2.k1k211判断正误(1)当直线 l1 和 l2
2、的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()答案：(1)(2)(3)2已知直线(k3)x(4k)y10 与 2(k3)x2y30 平行，那么 k 的值为()A1 或 3B1 或 5C3 或 5D1 或 2解析：法 1：把 k1 代入已知两条直线，得2x3y10与4x2y30，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以 k1，排除 A，B，D.法2：因 已
3、 知 两 条 直 线 平 行，所 以k 3或k3，k32k34k2 13，解得 k3 或 k5.答案：C 知识点二 两条直线的交点设两条直线的方程为 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则两条直线的_就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线_，此解就是_；(2)若方程组无解，则两条直线_，此时两条直线_，反之，亦成立答案交点坐标(1)相交 交点的坐标(2)无公共点 平行3经过两直线 2xy80 与 x2y10 的交点，且平行于直线 4x3y70 的直线方程为_答案：4x3y604点(a，b)关于直线 xy10 的对称点是_解析：设
4、对称点的坐标为(x0，y0)，则y0bx0a1ax02by0210，即y0bx0ax0y0ab20 解之得x0b1，y0a1.即对称点坐标为(b1，a1)答案：(b1，a1)热点三 两种距离1点到直线的距离点 P0(x0，y0)到 直 线 l：Ax By C 0 的 距 离 d _.2两条平行线间的距离两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d_.答案1.|Ax0By0C|A2B2 2.|C1C2|A2B25直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_解析：先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d|212|2 3 24.答案：3 246已知两点 A(3,
5、2)和 B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则 m 的值为()A0 或12B12或6C12或12D0 或12解析：依题意得|3m23|m21|m43|m21，所以|3m5|m7|.所以 3m5m7 或 3m57m.所以 m6 或 m12.故应选 B.答案：B热点命题突破 02 课堂升华强技提能 热点一 两条直线的平行与垂直【例 1】已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)l1l2 时，求 a 的值【解】(1)方法 1：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：
6、xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，l1l2a2 11a，3a1，解得 a1.综上可知，a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行方法 2：由 A1B2A2B10，得 a(a1)120.由 A1C2A2C10，得 a(a21)160.l1l2aa1120，aa21160.a2a20，aa216a1.故当 a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行(2)方法 1：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不垂直于 l2
7、；当 a1 且 a0 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由(a2)11a1a23.方法 2：由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.【总结反思】(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线 l1l2k1k2，b1b2，l1l2 的充要条件是 k1k21.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2的必要条件是 A1B2A2B1.(不充分)；l1l2A1A2B1B20.(1)若直线 ax2y10 与直线 xy20 互相垂直，那么
8、a 的值等于()A1B13C23D2(2)“直线 axy0 与直线 xay1 平行”是“a1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：(1)由 a1210 得 a2，故选 D.(2)由直线 axy0 与 xay1 平行得 a21，即 a1，所以“直线 axy0 与 xay1 平行”是“a1”的必要不充分条件答案：(1)D(2)B 热点二 两条直线相交问题【例 2】经过直线 l1：xy10 与直线 l2：xy30 的交点 P，且与直线 l3：2xy20 垂直的直线 l 的方程是_【解析】法 1：由方程组xy10，xy30，解得x2，y1，即点 P(2,1)
9、，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，l3l，k12，直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y0.法 2：直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点，可设直线 l 的方程为xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l 与 l3 垂直，2(1)(1)0，解得 13.直线 l 的方程为23x43y0，即 x2y0.【答案】x2y0【总结反思】1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点2常见的三大直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是Bx
10、Aym0(mR)(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.(1)(2017河南六市一联)已知 P(x0，y0)是直线 L：AxByC0外一点，则方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示()A过点 P 且与 L 垂直的直线B过点 P 且与 L 平行的直线C不过点 P 且与 L 垂直的直线D不过点 P 且与 L 平行的直线(2)对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是()A(2,3)B(3,2)C(2,3)D(3，2)解析：(1)因为点 P(x0，y0)不在直线 AxByC0
11、 上，所以Ax0By0C0，所以直线 AxByC(Ax0By0C)0 不经过点 P，排除 A 和 B；又直线 AxByC(Ax0By0C)0 与直线 L：AxByC0 平行，排除 C.(2)直线 yax3a2 变为 a(x3)(2y)0.又 aR，x30，2y0，解得x3，y2，得定点为(3,2)答案：(1)D(2)B 热点三 距离问题【例 3】(1)若 O(0,0)，A(4，1)两点到直线 axa2y60的距离相等，则实数 a_.(2)已知两条平行直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10间的距离为 5，则直线 l1 的方程为_【解析】(1)由题意，得6a2a4|4aa26|a2a4，
12、即 4aa266，解之得 a0 或2 或 4 或 6.检验得 a0 不合题意，所以 a2 或 4 或 6.(2)l1l2，m28m n1，m4，n2或m4，n2.当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0，把 l2的方程写成 4x8y20，|n2|1664 5，解得 n22 或 18.故所求直线 l1 的方程为 2x4y110 或 2x4y90.当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0.把 l2 的方程写成为 4x8y20，|n2|1664 5，解得 n18 或 22.故所求直线 l1 的方程为 2x4y90 或 2x4y110.【答案】(1)2 或 4 或 6(2)2x4y11
13、0 或 2x4y90【总结反思】利用距离公式应注意的问题(1)点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y的系数化为相等.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_解析：显然直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知，得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23.所求直线 l 的方程为 2xy20 或 2x3y180.答案：2x3y180 或 2xy20 热点四 对称问
14、题对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题方向：考向 1 点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称【例 4】已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程【解】(1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x12 3y22 10.解得x3313，y 413.所以 A3313，413.(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点必在 m上设
15、对称点为 M(a，b)，则2a22 3b02 10，b0a2231.解得 M613，3013.设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4,3)又因为 m经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线 m的方程为9x46y1020.(3)设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，因为 P在直线 l 上，所以2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为()A3x4y50B3x4y50C3x4y50D3x4y50解析：直线 3x4y50 关于 x轴对称的直线方程是3x4(
16、y)50，即 3x4y50.故选 A.答案：A考向 2 对称的应用【例 5】光线从点 A(4，2)射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，求 BC 所在直线的方程【解析】设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D，作出草图，如图所示，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与点 C，故 BC 所在的直线方程为 y646 x121，即 10 x3y80.如图，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB反射后
17、再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到点 P，则光线所经过的路程是_解析：直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|62222 10.答案：2 10【总结反思】对称关系的两类问题中，中心对称的本质是“中点”，体现在中点公式的运用上；轴对称的本质是“垂直、平分”，即“对称点连线与对称轴垂直，对称点连线的中点在对称轴上”在使用这些关系解题时，如能充分挖掘问题的几何特征，运用数形结合思想，就能使问题更轻松地解决.1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.2求两直线交点坐标就是解方程组即把几何问题转化为代数问题3要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点4对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称温示提馨请 做：课时作业 49（点击进入）
