1、第4讲 推理与证明 专题四 数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 41.(2015湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30 1 2 3 4解析 如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即
2、横坐标与纵坐标都为整数的点)，1 2 3 4即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.答案 C 1 2 3 42.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人 1 2 3 4解析 假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙
3、、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.1 2 3 4当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.答案 B 1 2 3 43.(2015山东)观察下列各式：C0140；C03C1341;C05C15C2542；C07C17C27C3743；1 2 3 4照此规律，当 nN*时，C02n1 C12n1 C22n1 Cn12n1_.解析 观察每行等式的特点，每行等式的右端都
4、是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有 C02n1C12n1C22n1Cn12n14n1.4n11 2 3 44.(2015 福 建)一 个 二 元 码 是 由 0 和 1 组 成 的 数 字 串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：x4x5x6x70，x2x3x6x70，x1x3x5x70，1 2 3 4其中运算定义为000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发
5、生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于_.解析()x4x5x6x711011，()x2x3x6x710010；()x1x3x5x710111.由()()知x5，x7有一个错误，()中没有错误，x5错误，故k等于5.5 考情考向分析 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一 归纳推理热点分类突破(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般
6、结论的推理.(2)归纳推理的思维过程如下：实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论例 1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn1212n212n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3)12n212n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)32n212n，六边形数N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.可以推测：当 k 为偶数时，N(n，k)k22 n24k2 n，解析 由N(n,4)n2，N(n,
7、6)2n2n，N(10,24)24221004242101 1001001 000.1 000(2)已知 f(n)112131n(nN*)，经计算得 f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，则有_.解析 由题意得 f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当 n2 时，有 f(2n)n22.故填 f(2n)n22(n2，nN*).f(2n)n22(n2，nN*)思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用.其思维
8、模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想.跟踪演练1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A.26B.31C.32D.36 解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.答案 B(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A.48,49B.62,63C.7
9、5,76D.84,85 解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.答案 D 热点二 类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.(2)类比推理的思维过程如下：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论例 2(1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则S1S214.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为V2，则V1
10、V2_.解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V1V2 127.127(2)已知双曲正弦函数 sh xexex2和双曲余弦函数 ch xexex2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_.解析 ch x ch ysh x sh y exex2eyey2exex2eyey214(exyexyexyexyexyexyexyexy)14(2exy2e(xy)exyexy2ch(xy)，故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(x
11、y)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.答案 ch(xy)ch xch ysh xsh y 思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比.跟踪演练 2(1)若数列an是等差数列，bna1a2ann，则数列bn也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则 dn 的表达式应为()A.dnc1c2cnn B.d
12、nc1c2cnnC.dnn cn1cn2cnnn D.dnn c1c2cn解析 由an为等差数列，设公差为d，则 bna1a2anna1n12 d，又正项数列cn为等比数列，设公比为q，则 dnn c1c2cn212211nnnnnc qc q，故选 D.答案 D(2)若点 P0(x0，y0)在椭圆x2a2y2b21(ab0)外，过点 P0 作该椭圆的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0 xa2 y0yb2 1.那么对于双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，类 似 地，可 以 得 到 切 点 弦 所 在 直 线 的 方 程 为_.解析 设P1(x1，y1
13、)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点 P1,P2 的切线的方程分别为x1xa2 y1yb2 1，x2xa2 y2yb2 1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以x1x0a2 y1y0b2 1，x2x0a2 y2y0b2 1，这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线x0 xa2 y0yb2 1 上，故切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0 xa2 y0yb2 1.答案 x0 xa2 y0yb2 1热点三 直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法.例 3 已知数列an满足：a11
14、2,31an11an21an1an1,anan10(n1)；数列bn满足：bna2n1a2n(n1).(1)求数列an，bn的通项公式；解 已知31an11an21an1an1化为1a2n11a2n 23，而 1a2134，所以数列1a2n是首项为34，公比为23的等比数列，则 1a2n3423n1，则 a2n13423n1，由anan10，知数列an的项正负相间出现，因此 an(1)n113423n1，bna2n1a2n3423n3423n11423n1.(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整
15、数，可设mn1)，证明：方程 f(x)0 没有负根.证明 假设x0是f(x)0的负根，则 x00，且 x01，0 xa x02x01，所以 00 xa 10 x02x011，解得12x02，这与 x00 矛盾，故方程 f(x)0 没有负根.热点四 数学归纳法数学归纳法证明的步骤(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时结论成立.(2)假设nk(kN*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立.由(1)(2)可知，对任意nn0，且nN*时，结论都成立.例 4 已知 f(n)1 123 133 143 1n3，g(n)32 12n2，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大
16、小；解 当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当 n2 时，f(2)98，g(2)118，所以 f(2)g(2)；当 n3 时，f(3)251216，g(3)312216，所以 f(3)g(3).(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.解 由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n1,2,3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即 1 123 133 1431k332 12k2.那么，当nk1时，f(k1)f(k)1k1332 12k21k13.因为12k12 12k21k13k32k13 12k23k12k13k20，所以 f(
17、k1)0，f(x)axax，令 a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；解 a11，a2f(a1)f(1)a1a；a3f(a2)a2a；a4f(a3)a3a.猜想 anan1a(nN*).(2)用数学归纳法证明你的结论.证明 易知，n1时，猜想正确.假设 nk 时猜想正确，即 akak1a，则 ak1f(ak)aakaakaak1aaak1aak1a1ak11a.这说明，nk1时猜想正确.由知，对于任何 nN*，都有 anan1a.高考押题精练 1 2 31.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设aij(i，jN*)是位于这个三角
18、形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428.若aij2 011，则i与j的和为_.1 2 3押题依据 数表是高考命题的重点，本题以教材中的杨辉三角为背景，考查观察、分析、归纳猜想的能力.解析 由三角形数表的排列规律知，aij2 011，则i必为奇数.设i2m1.在第i行上面，必有m行为奇数行，m行为偶数行.在前2m行中，共有奇数m2个.最大的奇数为1(m21)22m21，1 2 3由2m212 011得m的最大值31.i63.最大的奇数为1 921，在第63行中，首项为1 923，即1 923(j1)22 011，j45，故ij108.答案 108 1 2 32.已知下列不等式：
19、x1x2，x4x23，x27x34，则第 n 个不等式为_.押题依据 根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大.1 2 3解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当 n1 时，为1x；当 n2 时，为4x2；当 n3 时，为27x3显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，1 2 3所以不等式左边的式子为 xnnxn，显然不等式右边的式子为n1，所以第 n 个不等式为 xnnxnn1.答案 xnnxnn11 2 33.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列Sn不是等比数列.押题依据 反证法是一种重要的证明方法，对含“至多”“至少”等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及.1 2 3证明 假设Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2).因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故Sn不是等比数列.谢谢观看 更多精彩内容请登录：