1、4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数学 习 目 标核 心 素 养1.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差(难点、重点)2结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义(难点、重点)1通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养2通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养1分层随机抽样的均值设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，xn和 w1，w2, ，wn，则这个样本的平均数为w11w22wnxn为了简化表示，引进求和符号，记作w11w22wnxnwixi2分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为1，2，xn，方差分别
2、为s，s，s，相应的权重分别为w1，w2，wn，则这个样本的方差为s2wis(xi)2 ，其中为样本平均数3百分位数(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.(2)常用的百分位数：四分位数：25%，50%，75%，其它常用的百分位数：1%，5%，10%，90%，95%，99%(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：第1步，按照从小到大排列原始数据；第2步，计算inp；第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i1)项数据的平
3、均数思考：1.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是81分吗？方差是3吗？为什么？提示不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的2“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分1下列一组数据的25%分位数是()21, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.A3.2B3.0C4.4D2.5A把该组数据按照由小到大排列，可得：21, 3.0, 3.2, 3.4,
4、3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.由i1025%2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数2某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为()A5万元 B8万元 C6.5万元 D7.4万元 D由题意可知587.4(万元).3利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是xA2.3，xB2.8，这两组数据的平均数2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA_由wAxAwBxB可得2.4wA2.3(1wA)2.8，解得wA.分层随机抽样的平均数【例1】某公益组织在某社区调查年龄在20，50内的
5、居民熬夜时间，得到如下表格：年龄区间居民人数(单位：百人)所占比例平均熬夜时长(单位：h)20，30)3.630%430，40)6b240，50ac1其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长解由表可知该社区在20，50内的居民人数为3.630%12(百人)，则年龄在30，40)的居民所占比例为61250%，年龄在40，50的居民人数所占比例为130%50%20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为430%250%120%1.210.22.4(h).分层随机抽样的平均数的计算方法(1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi，样本容量n，三者满足wi，已知其中2个可
6、求另外1个(2)在利用公式w11w22wnxn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数1某市有大、中、小型商店的数量之比为159，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，求该市所有商店的年平均纳税额(结果保留一位小数)解由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为300250.428.6(万元)，所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元分层随机抽样的方差【例2】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为
7、300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为14，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解由题意可知甲60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲，乙70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙，则甲、乙两队全部队员的平均体重为w甲甲w乙乙607068(kg)，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2w甲s(甲)2w乙s(乙)2200(6068)2300(7068)2296.计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定1，2，xn，s，s，s ，w1，w2，wn；(2)确定；(3)应用公式 s2wis(xi)2计算s2.2已知某省二、三、四线城市数量之比为136，2019年6月份调查得知该省所有城市
8、房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10, 8，则二线城市的房价的方差为_11852设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20s2(1.22.4)210(1.21.8)28(1.20.8)2，解得s2118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.百分位数探究问题1p分位数有什么特点？提示：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2某组数据的p分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？提示：不一定因为按照计算p分位数的步骤，第2步计算所得的inp如果是整数，则
9、p分位数为第i项与第(i1)项数据的平均数，若第i项与第(i1)项数据不相等，则p分位数在此组数据中就不存在【例3】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：79, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0，分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数思路点拨解将所有数据按从小到大排列，得78, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9，因为共有12个数据，所以1225%3，1275%9，1295%11.4，则25%分位数是8
10、.15，75%分位数是8.75，95%分位数是第12个数据，为9.9.1在本例中请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量解因为共有12个数据，所以1215%1.8，则15%分位数是第2个数据，为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.2若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准解由例3解答可知样本数据的25%分位数是8.15 g，50%分位数为8.5 g, 95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍
11、珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品计算一组n个数据的p分位数的一般步骤(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)算i：计算inp；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i1)项数据的平均数1本节的重点和难点是对两个公式的理解与应用：计算分层随机抽样的平均数的公式：w11w22wnxnwixi计算分层随机抽样的方差的公式：s2wis(xi)2.2求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：按照从小到大排列原始数据；计算inp；若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位
12、数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i1)项数据的平均数1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数()(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重()(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.()提示(1)正确(2)正确(3)错误若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.答案(1) (2)(3)2下列关于50%分位数的说法正确的是()A50%分位数就是中位数B总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C它是四分位数D它适用于总体
13、是离散型的数据A由百分位数的意义可知选项B，C，D错误3已知甲、乙两地人口之比为23，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为_万元928109.2(万元).4农科院在试验田中种植了两个小麦品种，亩数、亩均产量和标准差如下：品种甲乙亩均产量(单位：kg)540576标准差32亩数(单位：亩)108求甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是多少？解甲、乙两个品种的平均亩产量为540576556 kg；甲、乙两个品种的亩产量的方差是s2w甲s(甲)2w乙s(乙)232(540556)222(576556)2326.78.即甲、乙两个品种的平均亩产量和方差分别是556 kg，326.78.