1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；(2)如果 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x34”是“a2 且 b2”的充分条件()(6)若(0,2)，则“sin 1
2、”的充要条件是“32”()1命题“若 4，则 tan 1”的逆否命题是()A若 4，则 tan 1B若 4，则 tan 1C若 tan 1，则 4D若 tan 1，则 4答案 C解析 命题“若 4，则 tan 1”的逆否命题是“若 tan 1，则 4”，故选 C.2已知命题 p：若 x1，则向量 a(1，x)与 b(x2，x)共线，则在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0B2C3D4答案 B解析 向量 a，b 共线xx(x2)0 x0 或 x1，命题 p 为真，其逆命题为假，故在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 2.3(2013福
3、建)已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 a3 时 A1,3，显然 AB.但 AB 时，a2 或 3.所以 A 正确4(2014安徽)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 ln(x1)0，0 x11，1x0.x0 是1x0，2xa，x0 有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0B0a12C.12a1(2)已知集合 Ax|x2 mx10，若 AR，则实数 m 的取值范围为()Am4C0m4D0m1.观察选项，
4、根据集合间关系a|a1，故答案选 A.(2)AR，则 A，即等价于方程 x2 mx10 无实数解，即 m40，即 m4，选 A.注意 m0 时也表示 A.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)条件 p：2x4，条件 q：(x2)(xa)0；若 q 是 p 的必要而不充分条件，则 a 的取值范围是()A(4，)B(，4)C(，4 D4，)(2)已知命题 p：实数 m 满足 m212a20)，命题 q：实数 m
5、 满足的方程 x2m1 y22m1表示焦点在 y 轴上的椭圆，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围为_答案(1)B(2)13，38解析(1)由题意，可得 p 是 q 的充分不必要条件，x|2x4x|(x2)(xa)4，即 a0，m27am12a20，得 3am4a，即命题 p：3am0.由 x2m1 y22m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，可得 2mm10，解得 1m32，即命题 q：1m1，4a32或3a1，4a32，解得13a38，所以实数 a 的取值范围是13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(1)设 p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈 p
6、 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是()A0，12 B(0，12)C(，012，)D(，0)(12，)(2)f(x)是 R 上的增函数，且 f(1)4，f(2)2，设 Px|f(xt)13，Qx|f(x)1Ct3Dt3答案(1)A(2)D解析(1)设 Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知 Ax|12x1，Bx|axa1由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 AB，a12，a11或a12，a11，故所求实数 a 的取值范围是0，12(2)依题意，Px|f(xt)13x|f(xt)2x|f(xt)f(2)，Qx|f(x)
7、4x|f(x)f(1)因为函数 f(x)是 R 上的增函数，所以 Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，需有 2t3.温馨提醒(1)本题用到的等价转化将綈 p，綈 q 之间的关系转化成 p，q 之间的关系将条件之间的关系转化成集合之间的关系(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.方法与技巧1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充要条件的几种判断方
8、法(1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2)等价法：即利用 AB 与綈 B綈 A；BA 与綈 A綈 B；AB 与綈 B綈 A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设 Ax|p(x)，Bx|q(x)：若 AB，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 AB，则 p 是 q 的充要条件失误与防范1当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若 p 则q”的形式3判断条件之间的关
9、系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1下列命题中为真命题的是()A命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 A解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|y y0y yy；对于 B，其否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x5，x2251；对于 C，其否命题：若 x1，则 x2x20，因为 x2 时，x2x20，所以是假命题；对于 D，若 x20，则 x
10、0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选 A.2“如果 x、yR，且 x2y20，则 x、y 全为 0”的否命题是()A若 x、yR 且 x2y20，则 x、y 全不为 0B若 x、yR 且 x2y20，则 x、y 不全为 0C若 x、yR 且 x、y 全为 0，则 x2y20D若 x、yR 且 x、y 不全为 0，则 x2y20答案 B解析“x2y20”的否定是“x2y20”，“x、y 全为 0”的否定是“x，y 不全为 0”3下列结论错误的是()A命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x40”B“x4”是“x23x40”的充分条件C命题“若 m0，则方
11、程 x2xm0 有实根”的逆命题为真命题D命题“若 m2n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2n20，则 m0 或 n0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2xm0 有实根，则 m0”若方程有实根，则 14m0，即 m14，不能推出 m0.所以不是真命题，故选 C.4已知集合 A1,2，B1，a，b，则“a2”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 a2 时，因为 B1,2，b，所以 AB；反之，若 AB，则必有 2B，所以 a2或 b2，故“a2”是“AB”的充分不必要条件选 A.5命题“若 x2y2，则 xy”
12、的逆否命题是()A“若 xy，则 x2y，则 x2y2”C“若 xy，则 x2y2”D“若 xy，则 x2y2”答案 C解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2y2，则 xy”的逆否命题是“若 xy，则 x2y2”6已知向量 a(m2，9)，b(1，1)，则“m3”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 m3 时，a(9，9)，b(1，1)，则 a9b，所以 ab，即“m3”“ab”；当 ab 时，m29，得 m3，所以不能推得 m3，即“m3”“ab”故“m3”是“ab”的充分不必要条件7给出命题：若函数 yf(x
13、)是幂函数，则函数 yf(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数是()A3B2C1D0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数 yf(x)的图象不过第四象限，则函数 yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个8函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是()Am2Bm2Cm1Dm1答案 A解析 已知函数 f(x)x22x1 的图象关于直线 x1 对称，则 m2；反之也成立所以函数 f(x)x2mx1 的图象
14、关于直线 x1 对称的充要条件是 m2.9“若 ab，则 ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题10“m14”是“一元二次方程 x2xm0 有实数解”的_条件答案 充分不必要解析 x2xm0 有实数解等价于 14m0，即 m14，因为 m14m14，反之不成立故“m14”是“一元二次方程 x2xm0 有实数解”的充分不必要条件11若 xm1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_答案 0,2解析 由已知易得x|x22x30 x|xm1，又x|x22x30 x|x3，1m
15、1m13或1b，则 a2b2”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_答案 解析 原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2”错误原命题的逆命题为：“x，y 互为相反数，则 xy0”正确原命题的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24”正确B 组 专项能力提升(时间：15 分钟)13若集合 Ax|2x3，Bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 a1 时，Bx|2x1”是“a2b21”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要
16、条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 ab1，即 ab1.又a，b 为正数，a2(b1)2b212bb21，即 a2b21 成立，反之，当 a 3，b1 时，满足 a2b21，但 ab1 不成立所以“ab1”是“a2b21”充分不必要条件15命题“函数 yf(x)的导函数为 f(x)exk2ex1k(其中 e 为自然对数的底数，k 为实数)，且 f(x)在 R 上不是单调函数”是真命题，则实数 k 的取值范围是()A.，22B.22，0C.0，22D.22，答案 C解析 当 k1 时，f(x)ex1ex1213，则 f(x)在 R 上单调递增，不满足题意，应排除 A；当 k12时，f(x)e
17、x 14ex2123，所以 f(x)在 R 上单调递增，不满足题意，应排除 B；当 k1 时，f(x)ex1ex12ex 1ex1211，则 f(x)在 R 上单调递增，不满足题意，应排除 D.选 C.16给定两个命题 p、q，若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是綈 q 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 充分不必要条件解析 若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q綈 p 但綈 pq，其逆否命题为 p綈 q 但綈 qp，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件17已知集合 Ax|122x8，xR，Bx|1xm1，xR，若 xB 成立的一个充分
18、不必要条件是 xA，则实数 m 的取值范围是_答案(2，)解析 Ax|122x8，xR x|1x3，即 m2.18下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC 中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 全不为零”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为零”的充要条件正确的是_答案 解析 由 0 可以推出 a0，但是由 a0 不一定推出 0 成立，所以正确由 AB2AC2BC2 可以推出ABC 是直角三角形，但是由ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由 a2b20 可以推出 a，b 不全为零，反之，由 a，b 不全为零可以推出 a2b20，所以不正确，正确