1、课时跟踪检测(二十三)直线与圆的位置关系的应用(习题课)A级基础巩固1如图,圆弧形桥拱的跨度|AB|12米,拱高|CD|4米,则拱桥的直径为()A15米B13米C9米 D6.5米解析:选B如图,设圆心为O,半径为r,则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2,即r2(r4)262,解得r,所以拱桥的直径为13米2y|x|的图象和圆x2y24所围成的较小区域的面积是()A. B.C. D解析:选D如图,所求面积是圆x2y24面积的.3已知点M(x0,y0)是圆x2y2r2(r0)内异于圆心的点,则直线x0xy0yr2与此圆的交点的个数为()A2 B1C0 D不能确定解析:选C点M(x0,y0)
2、是圆x2y2r2内异于圆心的点,xyr,故直线x0xy0yr2与此圆没有交点4一条光线从点(2,3)射出,经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切,则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析:选D由已知,得点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,3)设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y3k(x2),即kxy2k30.由反射光线与圆相切,则有d1,解得k或k,故选D.5方程 kx2有唯一解,则实数k满足()AkBk(2,2)Ck2Dk2或k解析:选Dy表示单位圆x2y21的上半部分,ykx2表示过定点(0
3、,2)的直线,如图,当直线ykx2在l1,l4的位置或在l2,l3之间时满足条件易求得k22,k32.又由ykx2与圆x2y21相切求得k1,k4.故k2或k.6若直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M,N两点,且M,N关于直线x2y0对称,则实数km_解析:直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M,N两点,且M,N关于直线x2y0对称,直线x2y0是线段MN的中垂线,得k1,解得k2,又圆的方程为x2y22xmy40,圆心坐标为,将代入x2y0,得1m0,解得m1,故km1.答案:17在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的点,若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切,则圆C面积
4、的最小值为_解析:由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小,又圆C与直线2xy40相切,所以由平面几何知识,当OC所在直线与已知直线垂直时,圆C的直径最小,又O到直线2xy40的距离d,所以圆的半径最小为,圆C的面积的最小值为Sr2.答案:8已知M(x,y)|y ,y0,N(x,y)|yxb,若MN,则实数b的取值范围是_解析:数形结合法,注意y ,y0等价于x2y29(y0),它表示的图形是圆x2y29在x轴之上的部分(如图所示)结合图形不难求得,当30)有公共点答案:(3,3 9设有半径长为3 km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向
5、东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为31,问:甲、乙两人在何处相遇?解:如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立平面直角坐标系设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇,CD所在直线的方程为1(a3,b3),乙的速度为v,则甲的速度为3v.依题意,有解得所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇10.如图,直角ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC
6、为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(m,0),C(m,0),P(n,0),Q(n,0)设A(x,y),由已知,点A在圆x2y2m2上,故|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值) B级综合运用11.(多选)如图所示,已知直线l的方程是yx4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为()A6 B8C10 D16解析:选AD设当圆与直线l相切时,圆心坐标为(0,m),则圆心到直线l的距离为,得m或m,该圆运
7、动的时间为6 (s)或16 (s)12若曲线y1 (2x2)与直线yk(x2)4有两个交点,则实数k的取值范围是_解析:将方程y1(2x2)变形为x2(y1)24(1y3),它表示以(0,1)为圆心,2为半径的上半圆,yk(x2)4表示过定点A(2,4),斜率为k的直线,如图所示过点A(2,4)和点B(2,1)的直线AB的斜率kAB.直线方程yk(x2)4变形为kxy2k40,由2得切线AT的斜率kAT.由图知,当直线yk(x2)4在直线AB和切线AT之间变化时,直线与半圆有两个交点,故k.答案:13.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段
8、AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约_秒(精确到0.1)解析:以点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,可设点P(10,101.5t),Q(10,10t),可得出直线PQ的方程y10t(x10),圆O的方程为x2y21,由直线PQ与圆O有公共点,可得1,化为3t216t1280,解得0t,而4.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒答案:4.414.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向
9、的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长解:(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略)设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x1)2(y1)21,由题意可设直线PQ的方程为1,即bx4y4b0(b2),因为PQ与圆A相切,所以1,解得b3,故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米(2)设P(a,0),Q(0,b)(a2,b2),则直线PQ方程为1,即
10、bxayab0.因为PQ与圆A相切,所以1,化简得ab2(ab)20,即ab2(ab)2.因此|PQ| .因为a2,b2,所以ab4,于是|PQ|(ab)2.又ab2(ab)2,解得04,所以ab42,|PQ|(ab)222,当且仅当ab2时取等号,所以PQ最小值为22,此时ab2.故当公路PQ长最短时,OQ的长为2 千米C级拓展探究15如图,过半径为2的圆M上两点P,Q的切线相交于点T,自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线,这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R,S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明:|RT|ST|.证明:如图,以圆心M为原点,平行于PQ的直径AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则可得圆的方程为x2y24,A(0,2),B(0,2),设P(x0,y0),则xy4.直线AP的方程为yx2,令y0得xR,直线BP的方程为yx2,令y0得xS.切线PT方程为x0xy0y4,由对称性知点T在x轴上,故令y0得xT,|RT|xRxT|2,|ST|xSxT|2.|RT|ST|.