1、专题三 数列第2讲 数列的求和及综合应用一、选择题1已知数列1，3，5，7，则其前n项和Sn为()(导学号 55410114)An21Bn22Cn21 Dn22解析：an(2n1)，所以Snn21.答案：A2(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由S4S62S5S6S5(S5S4)a6a5d，当d0时，则S4S62S50，即S4S62S5.反之，S4S62S5，可得d0.所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件答案：C3(2017东北三省四市二模)已知数列an满足
2、an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A9 B15C18 D30解析：因为an1an2，a15，所以数列an是公差为2的等差数列所以an52(n1)2n7.数列an的前n项和Snn26n.令an2n70，解得n.所以n3时，|an|an；n4时，|an|an.则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6，S62S362662(3263)18.答案：C4满足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1 025的最小n值是()(导学号 55410115)A9 B10C11 D12解析：因为a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12a
3、n，an2n1，Sn2n1.则满足Sn1 025的最小n值是11.答案：C5(2017长沙一中月考)数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9C10 D9解析：由于an，所以Sn1，因此1，所以n9，所以直线方程为10xy90.令x0，得y9，所以在y轴上的截距为9.答案：B二、填空题6对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”若a11，an的“差数列”的通项公式为an1an2n，则数列an的前n项和Sn_解析：因为an1an2n，应用累加法可得an2n1，所以Sna1a2a3an222232nnn2n1n2.答案：2n1n
4、27(2017潮州二模)已知Sn为数列an的前n项和，an23n1(nN*)，若bn，则b1b2bn_解析：易知数列an是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn3n1，又bn，则b1b2bn.答案：8已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是数列an的前n项和，若ab，则数列的最大项的值为_解析：因为ab，所以ab2Snn(n1)0，所以Sn，所以ann，所以，当n2时，n取最小值4，此时取到最大值.答案：三、解答题9(2016全国卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.
5、90，2.62.解：(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1，2，3时，12，bn1；当n4，5时，23，bn2；当n6，7，8时，34，bn3；当n9，10时，45，bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.10(2017莆田质检)已知数列an的前n项和Snn2kn，其中k为常数，a613.(1)求k的值及数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由已知Snn2kn，有anSnSn12nk1(n2)，又a1S1k1，所以an2nk1.又因为a613，所以26
6、k113，解得k2，所以an2n1.(2)因为bn，所以bn，所以Tn1，所以数列bn的前n项和Tn.11(2016山东卷)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(导学号 55410116)(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1，又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn
7、322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2. 典例(本小题满分12分)(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和规范解答：(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，所以a12，(3分)所以数列an)是首项为2，公差为3的等差数列，(4分)因此an的通项公式an23(n1)3n1.(6分)(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn10，则，(9分)因此数列bn是首项为b1，公比为的等比数列，(10分)设数列bn的前n项和为Sn，则Sn.(12分)1牢记等差、等比
8、数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断.2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得bn1与bn的关系3写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证如本题第(1)问要写出a1b2b2b1，b11，b2，才能得出a1，并指出数列an的性质，否则不能得全分第(2)问中一定要写出求bn1的步骤并要指明bn的性质；求Sn时，必须代入求和
9、公式而不能直接写出结果，否则要扣分解题程序第一步：将n1代入关系式anbn1bn1nbn，求出a1的值；第二步：利用等差数列的通项公式求出an；第三步：将第(1)问中求得的an代入关系式anbn1bn1nbn，求得bn1与bn的关系；第四步：判断数列bn为等比数列；第五步：代入等比数列的前n项和公式求Sn.第六步：反思检验，规范解题步骤跟踪训练(2017江西七校联盟联考)已知数列an的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a23，a35.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为1，所以1，所以a11.所以1(n1)1n，所以Snn2，所以anSnSn12n1(n2)，并且a11也满足上式，所以an2n1.(2)因为bn(2n1)3n，所以Tn13332(2n1)3n，所以3Tn132333(2n1)3n1.所以Tn3Tn32(32333n)(2n1)3n1，则2Tn32(2n1)3n13n16(12n)3n1(22n)3n16，故Tn(n1)3n13.
