1、第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_；(2)商数关系：_.sin2cos21tansincos2诱导公式 口诀为“奇变偶不变，符号看象限”其中“奇、偶”是指“k2”(kZ)中 k 的奇偶性；“符号”是把任意角 看作锐角时，原函数值的符号角 030 456090 120 150 180270角 的弧度数06432235632sin012223213212013特殊角的三角函数值角 0304560 90120150 180 27
2、0cos1322212012 3210tan03313不存在 3 330不存在对sin(n)如何化简？提示：诱导公式中有，2两类公式，因此对n分奇偶讨论：当n2k，kZ时，sin(n)sin(2k)sin()sin；当n2k1，kZ时，sin(2k)sin()sin.思考感悟课前热身 1(2010年高考大纲全国卷)已知是第二象限的角，tan，则cos_.2(2011年镇江调研)cos300等于_ 答案：1212答案：2 553已知 cos()513，且 是第四象限角，则 sin_.4化简sin2cos2cossincos2sin_.答案：1213答案：0考点探究挑战高考 同角三角函数式的化简求
3、值 考点突破 对于含有条件等式的代数式的化简求值题，求解时应分别从条件和结论两方面入手，找准化简方向，可从统一函数名称，统一角度等方面考虑 例1(2011年 湛 江 测 试)已 知 函 数f(x)cosx 1sinx1sinxsinx1cosx1cosx.(1)当 x(2，0)时，化简 f(x)的解析式并求 f(4)的值；(2)当 x(2，)时，求函数 f(x)的值域【思路分析】函数f(x)的解析式中的两个根号中的分式，利用sinx，cosx的平方关系化简【解】f(x)cosx1sinx1sinx sinx1cosx1cosxcosx 1sinx2cos2xsinx1cosx2sin2xcos
4、x1sinx|cosx|sinx1cosx|sinx|.(1)当 x(2，0)时，f(x)sinxcosx，故 f(4)2.(2)当 x(2，)时，|cosx|cosx，|sinx|sinx，故 f(x)cosx1sinxcosx sinx1cosxsinxcosxsinx 2cos(x4)，因为 x(2，)，x4(34，54)，所以1cos(x4)22，所以函数 f(x)的值域是 2，1)【名师点评】同角三角函数关系在化简时，平方关系式可实现正、余弦间的互化，而正切的商式关系式是“切化弦”的依据互动探究 1 例 1中函数 f(x)cosx1sinx1sinxsinx1cosx1cosx.其他
5、问题不变，结果如何？解：f(x)cosx1sinx2cos2xsinx1cosx2sin2xcosx1sinx|cosx|sinx1cosx|sinx|.(1)当 x(2，0)时，f(x)1sinx(1cosx)cosxsinx，故 f(4)cos(4)sin(4)22 22 2.(2)当 x(2，)时，|cosx|cosx，|sinx|sinx，故 f(x)cosx1sinxcosx sinx1cosxsinxsinx11cosxsinxcosx 2sin(x4)因为 x(2，)，x4(4，34)，所以 22 sin(x4)1，所以函数 f(x)的值域是(1，2诱导公式的应用 应用诱导公式进
6、行化简或证明时，首先根据题意选准公式，一般是负变正、大变小的思想 在使用诱导公式时，可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是锐角而已例2(2011 年无锡质检)已知 sin(2)55，(0，)(1)求sin2cos32 sincos3的值；(2)求 cos(234)的值【思路分析】先化简已知条件求得sin，再代入(1)式中，(2)中用差角公式展开，代入sin2，cos2的值【解】(1)sin(2)55，(0，)cos 55 sin2 55.sin2cos32 sincos3cossinsincos 13.(2)cos 55，sin2 55，sin245，cos235，
7、cos(234)22 cos222 sin2 210.【名师点评】使用诱导公式时，可以多次使用，如32 2，即使用两次，这样可避免公式记忆不准确时出现错误变式训练 2 化简tancos2sin32 cossin.解：原式tancossin2cossintancoscoscossintancossinsincoscossin1.sin，cos的齐次式问题(1)对于sincos，sincos，sincos这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值 可 求 转 化 的 公 式 为(sincos)2 12sincos；(2)关于sin，cos的齐次式，往往化为关于tan的式子例3 已知 sin()
8、cos()23 (2)求下列各式的值：(1)sincos；(2)sin3(2)cos3(2)【思路分析】(1)化简已知条件 sincos 23，再平方求 sincos，则可求(sincos)2，最后得 sincos；(2)化简 cos3sin3，再因式分解并利用(1)求解【解】由 sin()cos()23，得 sincos23.两边平方，得 12sincos29，故 2sincos79.又20，cos0.(1)(sincos)212sincos1(79)169.sincos43.(2)sin3(2)cos3(2)cos3sin3(cossin)(cos2cossinsin2)43(1 718)
9、2227.【名师点评】运用基本关系式可以求解两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明 该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系sin2cos21及其变形形式sin21cos2或cos21sin2进行开方运算时，要特别注意符号的判断 方法感悟 方法技巧1利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实现角的弦切互化 2应用sin2cos21求sin或cos时，特别注意角的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，
10、sin21cos2，cos21sin2.4化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 5诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 6化简前，注意分析角的结构特点，选择恰当的公式和化简顺序失误防范1利用 sin2cos21 时，sin 1cos2，cos1sin2，每一个式子中都应有正负两种情况，不能只有一种情况2应用诱导公式时，常出现正负符号混淆的情况，可以结合特殊值法来记忆或区分“正负”号考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，同角三角函数的平方和商数关系是高考的热点，既有小题，也有大题，主要是在三角式的求
11、值与化简过程中与诱导公式、倍角公式的综合应用，重点考查基本知识，一般不单独命题预测 2012 年江苏高考仍将以同角三角函数的平方关系和商数关系，2 的诱导公式为主要考点，重点考查学生的基本运算能力和恒等变换的技能真题透析 例【解 析】cos(80)cos80 k，sin801k2，tan801k2k，从而 tan100tan801k2k.(2010年高考大纲全国卷改编)记cos(80)k，那么tan100_.【答案】1k2k【名师点评】诱导公式与同角三角函数关系式，常常结合成为考查三角函数基础知识的命题点之一题目一般解法明了，但考查的知识却是涉及各方面的 名师预测 1已知 是第二象限角，且 s
12、in()35，则 cos2_.解析：由 是第二象限角，且 sin()35，得 sin35，cos45，cos2cos2sin2 725.答案：7252若 sin(6)13，则 cos(3)_.解析：(3)(6)2，cos(3)sin(6)13.答案：133已知 tan2，则sincossincos _.解析：原式sincossincossincossincostan 1tan 121213.答案：3 解析：f(2010)asin(2010)bcos(2010)asinbcos1.f(2011)asin(2011)bcos(2011)(asinbcos)1.答案：1 4设f(x)asin(x)bcos(x)，其中a、b、都是非零实数，若f(2010)1，则f(2011)等于_ 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
