1、第二节平面向量的数量积及应用举例1向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是a与b的夹角设是a与b的夹角，则的取值范围是01800或180ab，90ab2.平面向量的数量积汈汈汈汈汈定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积3.数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos_(2)cos .(3)ab
2、|a|b|4数量积的运算律(1)交换律：abba.(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)(3)分配律：a(bc)abac5平面向量数量积的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则数量积abx1x2y1y2模|a|_夹角cos 向量垂直的充要条件abab0x1x2y1y201向量的夹角问题(1)“向量a与b的夹角为钝角”等价于“ab0且a，b不共线”(2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“ab0且a，b不共线”(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，在ABC中，B，而不是角B.2两种投影a在b上的投影为.b在a上的投影为.3几个结论，对于向量a，b(1)(ab)
3、2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.(3)a，b同向时，ab|a|b|，a，b反向时，ab|a|b|.(4)O是ABC的垂心.(5)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则.1(基础知识：向量夹角)设a(，1)，b，则向量a，b的夹角为()A30 B60C120 D150答案：B2(基本方法：数量积坐标运算)已知(2，3)，(3，3)，则()A3 B2C2 D3答案：C3(基本方法：求模)已知a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|ab|_答案：4(基本能力：向量夹角)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_答案：5(基本应
4、用：向量垂直)已知向量a(2，1)，b(1，k)，若a(2ab)，则k_答案：12题型一平面向量数量积的运算典例剖析类型 1定义法求数量积例1(2021石家庄二中联考)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB8，CD4，ABCD，ABAD，E是BC的中点，则()()A32 B48C80 D64解析：()，由数量积的几何意义得，的值为|与在方向投影的乘积，又在方向的投影为|4，32.同理，8648，()324880.答案：C类型 2坐标法求数量积例2(1)已知(2，3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2 D3解析：(3，t)(2，3)(1，t3)，|1，1，t3，(1，0)，21302.答案：
5、C(2)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_解析：法一：BAD30，ADBC，ABE30.又EAEB，EAB30.在EAB中，AB2，EAEB2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，(2，)，(1，)，(2，)(1，)1.法二：同法一，求出EBEA2，以，为一组基底，则，()225212251.答案：1方法总结向量的数量积的计算，首先明确用什么方式计算(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos (是a与b的夹角).
6、(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解提醒确定两向量ab的夹角时，务必将ab移到共起点时，再确定ab题组突破1在如图所示的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9C6 D0解析：如图，连接MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.答案：C2如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若2，则_解析：法一(几何法)：因为2，所以，所以.因为ABCD，CD2，BAD，所以2|cos ，
7、化简得|2.故()|2(2)222cos 12.法二(坐标法)：如图所示，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m2，m)，B(n，0)，其中m0，n0，则由2，得(n，0)(m2，m)2(n，0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2，故(m，m)(m2，m)2m22m12.答案：12题型二平面向量数量积的应用 典例剖析类型 1向量的夹角例1(1)(2020高考全国卷)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cos a，ab()A BC D解析：|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cos a，ab.答案：D(2)(2021河北石家
8、庄模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A BC D解析：设|b|1，则|ab|ab|2.由|ab|ab|，得ab0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos .0，.答案：D类型 2向量模的计算例2(1)(2020湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|4，b在a方向上的投影为2，则|a3b|的最小值为()A12 B10C D2解析：设a与b的夹角为.由于b在a方向上的投影为2，所以|b|cos 2，所以ab8.又|b|cos 2，所以|b|2，则|a3b| 10，即|a3b|的最小值为10.答案：B(2)(202
9、1四川双流中学诊断)如图，在ABC中，M为BC的中点，若AB1，AC3，与的夹角为60，则|_解析：M为BC的中点，()，|2()2(|2|22)(19213cos 60)，|.答案：类型 3利用数量积研究垂直关系例3(1)已知O是ABC所在平面内一点，且满足|2|2|2|2，则点O()A在过点C且与AB垂直的直线上B在A的平分线所在直线上C在边AB的中线所在直线上D以上都不对解析：由|2|2|2|2得|2|2|2|2，所以()()()()，即()()，所以()20，所以.故点O在过点C且与AB垂直的直线上答案：A(2)(2020高考全国卷)已知单位向量a，b的夹角为45，kab与a垂直，则k
10、_解析：由题意知(kab)a0，即ka2ba0.因为a，b为单位向量，且夹角为45，所以k12110，解得k.答案：方法总结1求向量夹角的方法方法解读适合题型定义法cos a，b适用于向量的代数运算数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算2.求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解题组突破1已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cos m，n，若n与tmn的夹角为钝角，则实数t的取值范围是()At4 Bt
11、4且t0Ct4 Dt4且t0解析：n与tmn的夹角为钝角等价于n(tmn)0且n与tmn不共线，所以tmnn20，且t0，即tn2n20，且t0，解得t4且t0.答案：B2在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点若(1，2)，(2，t)，则|()A B5C2 D20解析：由题意知，122t0，t1，|.答案：A3已知向量a(1，2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A BC D解析：设c(m，n)，则ac(1m，2n)，ab(3，1)，因为(ca)b，则有3(1m)2(2n).又c(ab)，则有3mn0，解得m，n，所以c.答案：D题型三平面向量与三角函数、解三角形
12、 典例剖析类型 1向量与三角形、三角函数的综合例1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m，n，且2mn|m|，1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的面积S.解析：(1)因为2mn2sin cos 2cos2sinA(cos A1)sin 1，又|m|1，所以2mn|m|sin ，即sin .因为0A，所以A，所以A，即A.(2)cos Acos cos cos cos sin sin ，因为bc cos A1，所以bc.又sin Asin sin ，所以ABC的面积Sbc sin A().类型 2向量与三角形的性质例2已知O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，且，则点
13、O，N，P依次是ABC的()A重心外心垂心 B重心外心内心C外心重心垂心 D外心重心内心解析：由|知，O为ABC的外心；由0知，N为ABC的重心；因为，所以()0，所以0，所以，即CAPB，同理APBC，CPAB，所以P为ABC的垂心答案：C类型 3向量与解析几何综合例3已知A，B分别为椭圆：y21的左顶点、下顶点，过点A且斜率为1的直线l与的另一个公共点为C，则()A BC4 D解析：易知A(2，0)，B(0，1)，依题意可得，l的方程为yx2.由消去y化简得(5x6)(x2)0，解得x12，x2，则C的坐标为，所以(2，1)，.答案：D类型4向量与物理、生活的综合例4长江两岸之间没有大桥的
14、地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度沿方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3 km/h，则该船实际行驶的速度大小为()A2 km/h B km/hC4 km/h D8 km/h解析：(以下解析中速度按向量处理)不妨设该船经过1 h到达点C，由题意画出向量图，如图所示，则为船速，为水速，为该船实际行驶的速度，易知|4.答案：C方法总结 1向量在平面几何中的应用(1)用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用(2)工具作用：
15、利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到2向量与三角形的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角形问题，再利用三角形知识进行求解三角形“四心”的向量表示：(1)在ABC中，若|或222，则点O是ABC的外心；(2)在ABC中，若0，则点G是ABC的重心；(3)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若，(0，)，则直线AP过ABC的重心；(4)在ABC中，若，则点H是ABC的垂心；(5)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若(0)，则直线AP过ABC的内心提醒用向量解决其他问题时，根据问
16、题背景，找出相关向量的几何意义，结合图形及运算法则，得出向量等式解决实际问题题组突破1在ABC中，O为ABC的重心，若，则2()A B1C D解析：设AC的中点为D，因为O为ABC的重心，所以()，所以，所以2.答案：D2已知A(1，cos )，B(sin ，1).若|(O为坐标原点)，则锐角_解析：由已知可得是以OA，OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量，则是对角线向量，由对角线相等的平行四边形为矩形，知OAOB.因此0，所以锐角.答案：1(2020高考山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是()A(2，6) B(6，2)C(2，4) D(4，6)解析：
17、如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(1，).设P(x，y)，则(x，y)，(2，0)，且1x3.所以(x，y)(2，0)2x(2，6).答案：A2(2020高考全国卷)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_解析：将|ab|1两边平方得a22abb21.a2b21，12ab11，即2ab1，|ab|.答案：3(2020高考全国卷)设向量a(1，1)，b(m1，2m4)，若ab，则m_解析：ab，ab0.又a(1，1)，b(m1，2m4)，1(m1)(1)(2m4)0，解得m5.答案：5(2020高考全国卷)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是()Aa2b B2abCa2b D2ab解析：由题意得|a|b|1，a，b的夹角60，故ab|a|b|cos .对于选项A，(a2b)bab2b220；对于选项B，(2ab)b2abb22120；对于选项C，(a2b)bab2b220；对于选项D，(2ab)b2abb2210.答案：D
