1、广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题图11、（佛山市2014届高三教学质量检测（一）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为A B C ks5uD答案：D2、（惠州市2014届高三第三次调研考）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）俯视图正(主)视图侧(左)视图2322 答案：D3、（江门市2014届高三调研考试）图1如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是A B C D答案：B4、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（1）中的网格纸是边长为1的小正
2、方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为A. B. C. D.答案：C5、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( ) A. 8 B. 4 C. D.答案：C6、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（ ）A. 和 B. 和 C. 和 D. 和答案：A7、（中山市2014届高三上学期期末考试）把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （
3、）A B C D 答案：B8、（珠海市2014届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A、B、1C、D、2答案：A9、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将沿对角线AC折起，使得平面ABC平面ADC（如图），则下列命题中正确的为(C)A. 直线AB直线CD, 且直线AC直线BDB. 直线AB平面BCD，且直线AC平面BDEC. 平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED. 平面ABD平面BCD，且平面ACD平面BDE答案：C10、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试
4、）一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是答案：A二、填空题1、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 答案：82、（江门市2014届高三调研考试）若、是不重合的平面，、是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 （写出所有真命题的序号） 若，则 若，则 若，则 若，且，则答案：（对1个3分，错1个分）三、解答题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一）如图,矩形中,、分别为、边上的点,且,将沿
5、折起至位置(如图所示),连结、,其中.()求证:平面； ()求直线与平面所成角的正弦值.ACDBEF图5图6ABCDPEF【解析】()由翻折不变性可知, 在中,所以 2分 在图中,易得, 3分在中,所以 4分又,平面,平面,所以平面. 6分解法二图ABCDPEFHxyz解法一图ABCDPEF（注：学生不写扣1分） ()方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以, 8分设平面的法向量为,则,即,解得令,得,12分设直线与平面所成角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分方法二:过点作于,由()知平面,而平面所以,又,平面,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角. 9分在中,
6、 11分在中,由等面积公式得13分在中,所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分2、（广州市2014届高三1月调研测试）图6ABCDEF在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值（1）证明1：因为，在中，由余弦定理可得2分所以所以3分因为，、平面，所以平面4分证明2：因为，设，则在中，由正弦定理，得1分因为，所以整理得，所以2分所以3分因为，、平面，所以平面4分（2）解法1：由（1）知，平面，平面，所以因为平面为正方形，所以因为，所以平面6分取的中点，连结，因为是等腰梯形，且，所以所以是等边三角形，且7分MNABCDEF取的中点，连结，
7、则8分因为平面，所以因为，所以平面 9分所以为直线与平面所成角 10分因为平面，所以11分因为，12分在中，13分所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2：由（1）知，平面，平面，所以因为平面为正方形，所以因为，所以平面6分xABCDEFyz所以，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系7分因为是等腰梯形，且，所以不妨设，则，所以，9分设平面的法向量为，则有即取，得是平面的一个法向量11分设直线与平面所成的角为，则13分 所以直线与平面所成角的正弦值为14分3、（增城市2014届高三上学期调研）如图3，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将AED，DCF分别沿DE,DF折起
8、，使A,C两点重合于。 （1)求证：EF;（2）求二面角的平面角的余弦值.ks5u（1）证明：ABCD是正方形，DAAE, DCCF, 2分DA/A/E, DA/A/F, 3分又A/EA/F=A/， 4分DA/平面A/EF， 5分又EF平面A/EF， 6分DA/EF。 7分（2）取EF的中点M，连A/M,DM，则在A/EF中，A/E=AE=1，A/F=CF=1，A/M EF， 8分DE=DF=，DM EF 9分所以A/MD是二面角的平面角， 10分在BEF中，BE=BF=1，BEBF，EF=,A/M=,又A/D=1， 11分DA/平面A/EF，A/D A/M，又A/D=2，DM=, 12分co
9、sA/MD=， 13分所以二面角的平面角的余弦值是。 14分方法2：在BEF中，BE=BF=1，BEBF，EF=, 7分A/E= A/F=1，A/E2+ A/F2=EF2A/EA/F, 8分所以以A/为坐标系的原点，A/E,A/D,A/F分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 9分则A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1) 10分（-1,2,0），（-1,0,1），设平面DEF的法向量是，则0，0， 11分，取=（2,1,2）， 12分又(0，2，0)是平面A/EF的法向量，与夹角的余弦值是。 13分所以二面角的平面角的余弦值是。 14分4、（省华附、省实、广雅
10、、深中四校2014届高三上学期期末）.如图，四边形是正方形，平面， 分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，. 1分又平面，平面， 3分平面. 5分（2）解:平面，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 7分,，, ,.， 分别为，的中点，, 8分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得. 10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得. 12分所以=. 13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分（解法二) ，,是平面一个法向量. 10分，,是平面平面一个法
11、向量. 12分 13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分（解法三) 延长到使得连，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点，平面，平面， 平面. 7分平面平面平面 9分故平面与平面所成锐二面角与二面角相等. 10分平面平面平面是二面角的平面角. 12分 13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 14分5、（惠州市2014届高三第三次调研考）如图，平行四边形中，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为ABDCOABCD （1）求证：； （2）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？解: (1)平面，1分 ，3分 4分又 ， 5分6分. 7分（2）由
12、题知为在平面上的射影，平面， 8分 9分 10分， 12分当且仅当，即时取等号， 13分当时，三棱锥的体积最大，最大值为 14分6、（江门市2014届高三调研考试）如图2，直三棱柱中，棱，、分别是、的中点 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值证明与求解：，底面，1分，2分，因为，所以平面3分，4分，因为，所以平面5分（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系6分，则、7分，、8分，、9分，设平面的一个法向为，则10分，即，取11分，所以12分，13分。（方法二），6分，所以，7分，由知，所以平面8分。延长到，延长到，使，连接、9分，在中，10分，11分
13、，是平面的法向量，由所作知，从而，所以13分。其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。7、（揭阳市2014届高三学业水平考试）如图（5），已知为不在同一直线上的三点，且，.(1)求证:平面/平面；(2)若平面，且,求证：A1C丄平面AB1C1(3)在（2）的条件下，求二面角C1-AB1 -C的余弦值.解：（1）证明：且四边形是平行四边形，-1分,面，面平面，-3分同理可得平面,又,平面/平面-4分(2)证法1：平面，平面平面平面，-5分平面平面=，, -6分平面,-7分，又,得为正方形，-8分又,A1C丄平面AB1C1-9分【证法2：, ，-5分平面， 平面-6分以点C为原点，分别以A
14、C、CB、CC1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图示，由已知可,则,-7分 -8分又平面.-9分】(3)由（2）得,-10分设平面的法向量，则由得，令得-12分由（2）知是平面的法向量，,即二面角C1-AB1 -C的余弦值为.-14分8、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点沿直线BD将BCD翻折成，使得平面平面ABD（）求证：平面ABD；（）求直线与平面所成角的正弦值；证明：（）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直线BD将BCD翻折成 可知CD=6，BC=BC=10，BD=
15、8，即， 2分 平面平面，平面平面=，平面， 平面 5分（）由（）知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系 （6分）ABDECxyz则，E是线段AD的中点，在平面中，设平面法向量为， ，即，令，得，故（9分）设直线与平面所成角为，则（10分） 直线与平面所成角的正弦值为 （11分）（）由（）知平面的法向量为， 而平面的法向量为，（12分） ， （13分） 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 （14分）9、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）如图4，在四棱锥，平面，四边形是直角梯形中， （1）求证: 平面；（2）求二面角的余弦值 （1）证明：平面， （1分） 又， （2分
16、）过C作，交AD于E，则（3分），（4分）在中，（5分）又，平面（6分）（2）（方法一），平面（7分） 过作于，连结，可知 （8分）是二面角的平面角 （9分）设，则，ks5u， （11分）， （12分）即二面角的余弦值为 （14分）10、（中山市2014届高三上学期期末考试）PBEDCA如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面， ，.是的中点，（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，.是的中点，（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值17解法一：（），. -（2分）, . 而, 平面. （4分）.
17、 （5分）（）连结、，取中点， 连结 ， 则, 平面， 平面.过作交于，连结，则 就是二面角所成平面角. （7分）由，则.在中， 解得.因为是的中点，所以. （8分）而，由勾股定理可得. （9分）. （10分）（）延长，过作垂直于，连结，又，平面， 过作垂直于， 则, 所以平面, 即平面，所以在平面内的射影是，是直线与平面所成的角.（12分）PBEDCAOFGH. .（14分）解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . （2分）(2，0，0)
18、 , (0，4，0) , (0，0，2) , (2，0，0) ,PBEDCAxyz(0，2，1) , (2，4，0) . （3分）（）, .又, . （5分）, , 而,平面平面.（7分）（）设平面的法向量=,令，则.由即=. （9分）平面的法向量(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. （11分）（）因为平面的法向量是=，而(2，0，0) . 所以 . （13分） 直线与平面所成角的正弦值 . （14分）11、（珠海市2014届高三上学期期末）（第18题） 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，四边形为矩形，若，（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值；解：（1）在中，满足，所以，即又
19、因为四边形为矩形，所以又，所以又因为，所以又因为四边形为菱形，所以又，所以（2）过作于，连接由第（1）问已证又，所以，又因为，所以所以，就是二面角的平面角在直角中， 在直角中，所以12、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）（本题共2小题,第()小题7分,第()小题7分，满分14分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点()求平面ABCD与平面 A1BE所成二面角的平面角的正弦值；()请问：在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(
20、0，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，所以，(1，0，1)设(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，4分则由0，0，得所以xz，yz.取z2，得(2，1，2)取平面ABCD的一个法向量为，则，即所求二面角的平面角的正弦值为。8分() 在棱C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.证明如下：设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0t1) 又B1(1，0，1)，所以(t1，1，0)，由()知，平面A1BE的一个法向量为(2，1，2)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn(t1，1，0)(2，1，2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱
21、C1D1上存在一点F(F为C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.14分13、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PAABBC2AO2，BO。（1）证明：PABO；（2）求二面角ABPD的余弦值。答案：证明： 在中，则， . 2分 平面，. 又平面，平面，且，平面. 4分 又平面，. 6分解： 如图，过作于，连接、7分 平面，平面， 平面平面. 又平面平面，平面， ，平面，即. 9分 又，平面，且， 平面， 为二面角的平面角. 11分 ，且为等腰梯形， ，则， 12分则. 13分 在中， 二面角的余弦值为. 14分 另解：向量法 如图建立空间直角坐标系. 由已知，. 等腰梯形， ， ， 8分 ，. 设平面的法向量为， 则 令， ，即.10分 设平面的法向量为， 则 令，即. 12分 设二面角的大小为，由图可知是钝角， ， 二面角的余弦值为. 14分ks5u
