1、1.1计数原理（3）【学习目标】对两类计数原理的应用加以分类.【重点难点】重 点: 掌握两类计数原理的分类.难 点:如何对两类分类计数题型进行计数.【学法指导】区分两个计数原理的异同点，学会在应用加以综合应用.【学习过程】一课前预习正确区分和理解两个原理(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事(2)用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，确定需要分类还是分步分类要
2、做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数对于较为复杂的既要用分类加法计数原理，又要用分步乘法计数原理的问题，我们可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题二学习过程利用模型法解决计数问题例1. 3个人要坐在一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同坐法有多少种？解3个人在一排8个空座位上坐下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程
3、，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位形成的空座位当中如图所示：(1)(2)(3)(4)表示没有坐人的空位表示已经坐人的位置由于每人左右都要有空位子，因此将第一个人连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法(如图中的(1)到(2)；然后将第二个人连同他的座位插入时，只有3种插法了(如图中的(2)到(3)；最后将第三个人连同他的座位插入时，只有2种插入的方法了(如图中的(3)到(4)这时，我们再根据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同的方法共有43224(种)【反思感悟】本题用“”表示没有坐人的空位，用“”表示已经坐人的位置，画图分析为我们构建分步乘法计数原理的模型铺平了道路模型法
4、就是通过构建相关图形，利用形象直观的图形来构建两个原理的模型模型法不仅可以帮助我们准确理解题意，而且还可以帮助我们有效地分析问题，从而建立两个原理的模型，使问题顺利地解决二、利用转化法解决计数问题例2把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有_种答案120解析不妨设编号为1,2,3的三个盒子中分别放入了x1，x2，x3个小球，依题意有问题转化为在条件下求不定方程的解的个数，可考虑用分类计数的方法当x11时，x22,3，16，这时x3随之而定，从而共有15种放法当x12时，x22,3，15，这时x3随之而定，从而共有14种放法当
5、x115时，只有x22，x33，仅有一种放法根据分类原理，符合要求的放法共有N151421120(种)【反思感悟】将问题转化为不定方程的整数解组数问题，利用计数原理计数三、涂色问题例3 用5种不同的颜色(给如图所示的5个区域涂色)，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，所有不同的涂色方法有多少种？解第1步涂A区域有5种不同的涂法，第2步涂B区域有4种不同的涂法，依次第3、4、5步涂C、D、E区域，都有3种不同涂法依据分步乘法原理，所有不同的涂色方法有54333540(种)【课堂小结】1对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两
6、个原理解决问题首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序2一些非常规计数问题的解决方法(1)枚举法将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少时，分类计数时将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来(2)间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出总数，再减去不可能的种数，即正难则反(3)转换法转换问题的角度或转换成其他已知的问题在实际应用中，应根据具体问题，灵活处理(4)模型法模型法就是通过构造图形，利用形象直观的图形帮助我们分析、解决问题的方法模型法是解决计数问题的重要方法【当堂检测】1.某赛
7、季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分一球队打完15场，积33分若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有()A3种B4种C5种D6种答案A解析设该队胜x场，平y场，则负(15xy)场，由题意，得3xy33.y333x0，x11且xy15，因此，有以下三种情况，应有3种情况13242. 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行涂区域1，有5种颜色可选涂区域2，有4种颜色可选涂区域3和区域4可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选；若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选所以共有54(1433)260(种)涂色方法3如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？【课后作业】P12习题1.1A组
