1、2.1.1 向量的概念明目标、知重点 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.1.向量的概念(1)向量：具有大小和方向的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量.(2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等.(3)有向线段：从点 A 位移到点 B，用线段 AB 的长度表示位移的距离，在点 B 处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段 AB 具有从
2、A 到 B 的方向.具有方向的线段，叫做有向线段.点 A 叫做有向线段的始点，点 B 叫做有向线段的终点.有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度.2.向量AB的有关概念(1)以 A 为始点，以 B 为终边的有向线段记作AB，AB的长度记作|AB|.如果有向量线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB.(2)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量.(3)如果ABa，那么AB的长度表示向量 a 的大小，也叫做 a 的长(或模)，记作|a|.两个向量 a和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 ab.3.向量的平行(1)通过有向线段AB的直线，叫
3、做向量AB的基线(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量 a 平行于 b，记作 ab.(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作 0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行.4.位置向量任给一定点 O 和向量 a(如图)，过点 O 作有向线段OA a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a 所唯一确定，这时向量OA，又常叫做点 A 相对于点 O的位置向量.探究点一 向量的概念和几何表示问题 我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们把这种具有大小和方向的量称为向量.而把那些只有大小，没有方向的量称为数量.例如，已知下列各量
4、：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度.其中是数量的有，是向量的有.思考 1 向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的长度表示.向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模).记作|AB|，有向线段AB箭头表示向量AB的方向.思考 2 向量的模可以为 0 吗？可以为 1 吗？可以为负数吗？答 向量的模可以为 0，也可以为 1，不可以为负数.思考 3 向量与有向线段有什么区别？答 向量只有大小和方向两个要素，与起
5、点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.探究点二 几个向量概念的理解思考 1 长度为零的向量叫什么向量？答 长度为零的向量叫做零向量，记作 0，它的方向是任意的.思考 2 满足什么条件的两个向量是相等向量？答 长度相等方向相同的向量叫做相等向量.若向量 a 与 b 相等，记作 ab.小结 研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素.对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错.思考 3 在同一平面内，把所有长度为 1
6、的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？答案 单位圆.探究点三 平行向量与共线向量思考 1 如果两个非零向量所在的基线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？答 方向相同或相反小结(1)通过有向线段AB的直线，叫做向量的基线，如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行；(2)方向相同或相反的非零向量一定是平行向量.向量 a、b 平行，通常记作 ab.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有 0a.平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 2 如果非零向量AB与CD 是共线向量，那么点 A、
7、B、C、D 是否一定共线？答 点 A、B、C、D 不一定共线.思考 3 若向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 相等吗？反之，若向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答 向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 不一定相等；向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b平行(或共线).向量的平行不具备传递性，即若 ab，bc，则未必有 ac，这是因为，当 b0 时，a、c可以是任意向量，但若 b0，必有 ab，bcac.小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.例
8、1 判断下列命题是否正确，并说明理由.若 ab，则 a 一定不与 b 共线；若ABDC，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形 ABCD 中，一定有ABDC；若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a0；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac.解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故不正确.ABDC，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故不正确.在平行四边形 ABCD 中，|AB|DC|，AB与DC 平行且方向相同，故ABDC，正确.零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确.ab，则|a|b|且 a 与 b
9、 方向相同；bc，则|b|c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 ac，正确.若 b0，由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的，ac 可能不成立；b0 时，ac 成立，故不正确.反思与感悟 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可.跟踪训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由.若向量 a 与 b 同向，且|a|b|，则 ab；若向量|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab；向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同
10、或相反.解 不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确.不正确.由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.正确.|a|b|，且 a 与 b 同向.由两向量相等的条件可得 ab.不正确.因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定.例 2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向西偏北 50走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点.(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求|AD|.解(1)向量AB、BC、CD 如图所示.(2
11、)由题意，易知AB与CD 方向相反，故AB与CD 共线，又|AB|CD|，在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD.四边形 ABCD 为平行四边形.AD BC，|AD|BC|200 km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练 2 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.(1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知
12、所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图略).例 3 如图所示，ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC的中点.(1)写出与EF共线的向量；(2)写出与EF的模大小相等的向量；(3)写出与EF相等的向量.解(1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点，所以 EF 綊12BC.又因为 D 是 BC 的中点，所以与EF共线的向量有：FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.(2)与EF模相等的向量有：FE，BD，DB，DC，CD.(3)与EF相等的向量有：DB 与CD.反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相
13、等，但相等的向量一定共线.跟踪训练 3 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中所示向量中与OA、OB、OC 相等的向量.解 OA CBDO；OB DC EO；OC ABED FO.1.下列说法中错误的是()A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B.若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D.方向相反的两个非零向量必不相等答案 C解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念及向量的模的意义可判断 A、B、D 选项内容都是正确的.2.如图，在四边形 ABCD 中，若ABDC，则图中相等的向
14、量是()A.AD 与CBB.OB 与ODC.AC与BDD.AO 与OC答案 D解析 ABDC，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 互相平分，AO OC.3.如图，在ABC 中，若 DEBC，则图中所示向量中是共线向量的有_.答案 ED 与CB，AD 与BD，AE与CE解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解.4.在四边形 ABCD 中，ABCD 且|AB|CD|，则四边形 ABCD 的形状是_.答案 梯形解析 ABCD 且|AB|CD|，ABDC，但 ABDC，四边形 ABCD 是梯形.呈重点、现规律1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于
15、向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.平行向量指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行.3.注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、基础过关1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程，其中是向量的有()A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个答案 C解析 是向量.2.下列说法正确的个数是()零向量是没有方向的 零向量的长度为 0 零向量的方向是任意的 单位向量的模都相等A.0B.1C.2
16、D.3答案 D3.给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab；平行四边形 ABCD 中，一定有ABDC.其中不正确的命题的个数为()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个答案 C解析 不正确的是.4.设 O 是正方形 ABCD 的中心，则向量AO，BO，OC，OD 是()A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等.5.若 a 为任一非零向量，b 为模是 1 的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1，其中正确的是()A.B.C.D.答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a|0.6.如图，
17、等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E，F 分别在两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EFAB，则()A.AD BC B.ACBDC.PEPF D.EPPF答案 D解析 由平面几何知识知，AD 与BC方向不同，故AD BC；AC与BD 方向不同，故ACBD；PE与PF模相等而方向相反，故PEPF；EP与PF模相等且方向相同，EPPF.7.如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，N、M 分别是 AD、BC 上的点，且CN MA.求证：DN MB.证明 ABDC，|AB|CD|且 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，|DA|CB|，且 DACB.又DA 与C
18、B的方向相同，CBDA.同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，CM NA.|CB|DA|，|CM|NA|，|DN|MB|.DNMB 且DN 与MB 的方向相同，DN MB.二、能力提升8.以下命题：若ABDC，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；模为 0 的向量与任一向量平行；向量就是有向线段；单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 B解析 A、B、C、D 四点可能共线；错误；单位向量的模相等，但方向不确定，所以未必共线.9.下列说法正确的是()零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 是单位向量，则 ab；若非零向量AB与CD 是共线向
19、量，则 A，B，C，D 四点共线.A.B.C.D.和答案 A解析 对于，a 与 b 方向可能不同；对于，向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上.10.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，则|BD|_.答案 2 3解析 易知 ACBD，且ABD30，设 AC 与 BD 交于点 O，则 AO12AB1.在 RtABO中，易得|BO|3，|BD|2|BO|2 3.11.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C地又向南偏西 30方向行驶 2 千
20、米才到达 B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；(2)求 B 地相对于 A 地的位置向量.解(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示.(2)由题意知AD BC，AD 綊 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，则 B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60，6 千米”.12.如图，已知AA BB CC.求证：(1)ABCABC；(2)ABAB，ACAC.证明(1)AA BB，|AA|BB|，且AA BB.又A 不在BB 上，AABB.四边形 AABB 是平行四边形.|AB|AB|.同理|AC|AC|，|BC|BC|.ABCABC.(2)四边形 AABB 是
21、平行四边形，ABAB，且|AB|AB|.ABAB.同理可证ACAC.三、探究与拓展13.如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是两对角线 AC，BD 的交点，设点集 SA，B，C，D，O，向量集合 TMN|M，NS，且 M，N不重合，试求集合 T 中元素的个数.解 由题意知，集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段，共有 20 个，即AB，AC，AD，AO；BA，BC，BD，BO；CA，CB，CD，CO；DA，DB，DC，DO；OA，OB，OC，OD.由平行四边形的性质可知，共有 8 对向量相等，即ABDC，AD BC，DA CB，BACD，AO OC，OA CO，DO OB，OD BO.集合中元素具有互异性，集合 T 中的元素共有 12 个.
