1、第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一函数与映射的概念1函数的定义一般地，设 A，B 是两个_的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有_确定的数 f(x)和它对应；那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作_2映射的定义设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定
2、的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么称对应 f：AB 为集合 A 到集合 B的一个映射答案1非空 唯一 yf(x)，xA12016 年是闰年，假设月份的集合 A，每月的天数构成集合 B，f 是月份与天数的对应关系，其对应如下：月份123456789101112天数 312931303130313130313031对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B 到 A 的对应是函数吗？答案：是 不是2给出下列各组函数：f(x)x，f(x)x2x；f(x)x2，f(t)t2；f(x)|x|，f(x)x2；f(x)2lnx
3、，f(x)lnx2.其中表示同一个函数的序号是_解析：中两个函数的定义域不同，不是同一个函数；中两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；中的两个函数的对应关系和定义域都相同，是同一个函数；中两个函数的定义域不同，不是同一个函数答案：知识点二 函数的三要素及表示方法1函数的定义域、值域：在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_显然，值域是集合 B 的子集2函数的三要素：_、_、_.3表示函数的常用方法有：_、_、_.答案1定义域 值域2定义域 值域 对应关系3解析法 图象法 列表
4、法3(2016新课标全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lgx 的定义域和值域相同的是()Ayx Bylgx Cy2x Dy 1x解析：函数 y10lgx 的定义域为(0，)，又当 x0 时，y10lgxx，故函数的值域为(0，)只有 D 选项符合答案：D4(2016浙江卷)设函数 f(x)x33x21.已知 a0，且 f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数 a_，b_.解析：因为 f(x)f(a)x33x2a33a2，(xb)(xa)2(xb)(x2 2ax a2)x3 (2a b)x2 (a2 2ab)x a2b，所 以32aba22ab0a33a2a2b，解得a
5、2，b1.答案：2 1知识点三 分段函数若函数在其定义域内，对于_的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数答案自变量5设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(f(2)()A1 B.14 C.12 D.32解析：f(2)14，f(f(2)f14 11412.答案：C6设函数 f(x)x，x0，x2，x0.若 f(a)4，则实数 a_.解析：当 a0 时，有 a24，a2；当 a0 时，有a4，a4，因此 a4 或 a2.答案：4 或 2热点命题突破 02 课堂升华强技提能热点一 函数的概念【例 1】有以下判断：f(x)|x
6、|x 与 g(x)1 x01 x0 表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 ff12 0.其中正确判断的序号是_【解析】对于，由于函数 f(x)|x|x 的定义域为x|xR 且x0，而函数 g(x)1 x01 x0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象；中当 xx0 时，y 的值有两个，因此不是函数图象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选 B.答案：(1)D(2)B热点二函数的定义域考向 1 给定函数的定义域问题【例 2】(1)y
7、x12x log2(4x2)的定义域是()A(2,0)(1,2)B(2,0(1,2)C(2,0)1,2)D2,01,2(2)函数 f(x)1|x1|ax1(a0 且 a1)的定义域为_【解析】(1)要使函数有意义，必须x12x 0，x0，4x20，x(2,0)1,2)(2)由1|x1|0，ax100 x2，x000，x0，1x20 x0，x0，1x1x(0,1(3)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x22axa10 对 xR恒成立，即 2x22axa20，x22axa0 恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：(1)12，32 (2)(0,1(3)1,0热点三函数的解析式【例
8、 4】(1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_.(2)已知 fx1x x21x2，则 f(x)_.【解析】(1)设 f(x)ax2bxc(a0)由 f(0)0，知 c0，f(x)ax2bx，又由 f(x1)f(x)x1.得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1.即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1.所以2abb1，ab1，解得 ab12.所以 f(x)12x212x，xR.(2)由于 fx1x x21x2x1x22，所以 f(x)x22，x2 或 x2.故 f(x)的解析式是 f(x)x22，x2 或 x2.【答案】(1)12x212x，x
9、R(2)x22，x(，22，)1若将本例(2)的条件改为 f2x1 lgx，如何求解？解：令2x1t 得 x 2t1，代入得 f(t)lg 2t1，又 x0，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x)lg 2x1，x1.2若将本例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)2f1x x1”，如何求解？解：在 f(x)2f1xx1 中，用1x代替 x，得 f1x 2f(x)1x1，将 f1x 2fxx 1 代入 f(x)2f1xx1 中，可求得 f(x)23 x13.即函数 f(x)的解析式为 f(x)2 x3 13，x(0，).【总结反思】函数解析式的求法(1)待定系数法：适合
10、已知函数的类型(如一次函数、二次函数)(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式(4)消去法：已知 f(x)与 f1x 或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件将 x 换成1x或x 构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.解析：当 0 x1 时，f(x)x(1x)，当1x0
11、 时，0 x11，f(x1)(x1)1(x1)x(x1)，而 f(x)12f(x1)12x212x.当1x0 时，f(x)12x212x.答案：12x212x热点四分段函数考向 1 分段函数求值【例 5】(2016江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上，f(x)xa，1x0，|25x|，0 x0，cosx，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)【解析】因为 f()21，f()1,所以 f()f()，所以函数 f(x)不是偶函数，排除 A；因为函数 f(x)在(2，)上单调递减，排除 B；函
12、数 f(x)在(0，)上单调递增，所以函数 f(x)不是周期函数，排除 C；因为 x0 时，f(x)1，x0 时，1f(x)1，所以函数 f(x)的值域为1，)，故选 D.【答案】D【总结反思】1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验2分段函数的方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.(1)已知函数 f(x)2x12，x1，log2x1，x
13、1，且 f(a)3，则 f(6a)()A74B54C34D14(2)(2017郑州模拟)已知函数 f(x)x22x，x0，所以 2a11 无解；若 a1，则log2(a1)3，解得 a7，所以 f(6a)f(1)22274.(2)依题意可知a0，a22aa22a0，或a0，a22aa22a0，解得 a2,2答案：(1)A(2)D1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数解析式的几种常用求法待定系数法、换元法、配凑法、消去法4求分段函数应注意的问题在求分段函数的值
14、f(x0)时，首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集温示提馨请 做：课时作业 4（点击进入）新定义函数解法初探在高考中，新定义函数问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力一、概念型概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算
15、法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关性质的考查【例 1】设 xR，x表示不超过 x 的最大整数若存在实数t，使得t1，t22，tnn 同时成立，则正整数 n 的最大值是()A3 B4C5 D6【解析】由题知，1t2，2t 3，3 3t3 4，n ntn n1，设t1x，x0,1)，则11x2,2(1x)23,3(1 x)34,4(1 x)45,5(1 x)5236，矛盾，故 n 的最大值为 4.结合选项可知，n 的最大值较小，则采用特值法试图利用反证法求解是快速有效解题的关键【答案】B二、性质型函数的单调性是高考命题的重点
16、和热点，命题者往往以函数单调性的多种等价变形为背景新定义一种函数，给出含有两个变量之间的一种不等关系解决此类问题的关键是利用函数的单调性求解【例 2】如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H 函数”给出下列函数：yx3x1；y3x2(sinxcosx)；yex1；f(x)ln|x|，x0，0，x0.以上函数是“H 函数”的是_(填上所有正确的序号)【解析】若函数 f(x)为“H 函数”，则有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x1)f(x2)，即(x1x2)f(x1)f(x2)0.所以“H 函数”f(x)就是 R 上的单调递增函数y3x21，由 y0，解得 33 x0，故该函数在 R上是单调递增函数，即“H 函数”因为函数 yex 在 R 上是单调递增函数，所以 yex1 在R 上也是单调递增函数，即“H 函数”f(x)ln|x|，x0，0，x0lnx，x0，lnx，x0，0，x0.故该函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以在 R 上不是单调递增函数，即不是“H 函数”综上，填.【答案】
