1、第三章 三角函数、解三角形第五节 函数yAsin(x)的图象及应用1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 用五点法画yAsinx一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x_32 2x02322yAsin(x)0A0A0答案0 21用五点法作函数 ysinx6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是 _、_、_、_、_.解析：分别令 x60，2，32，2，可求出 x 的值分别为6，23，76，53，
2、136.又因为 A1，所以需要确定的五个点为：6，0，23，1，76，0，53，1，136，0.答案：6，0 23，1 76，0 53，1 136，02函数 ysin2x3 在区间2，上的简图是()解析：令 x0 得 ysin(3)32，排除 B，D.由 f(3)0，f(6)0，排除 C.答案：A知识点二 函数ysinx的图象变换得到yAsinx的图象的步骤答案|3(必修P55 练习第 2 题改编)已知函数 f(x)sin2x4，为了得到函数 g(x)sin2x 的图象，只需将 f(x)的图象()A向右平移8个单位长度 B向右平移4个单位长度C向左平移8个单位长度 D向左平移4个单位长度解析：
3、因为 f(x)sin2x4 sin2x8，所以要得到函数g(x)sin2x 的图象，只需将函数 f(x)的图象向右平移8个单位长度即可，故选 A.答案：A4将函数 ysinx 的图象上所有的点向右平行移动 10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_解析：将 ysinx 的图象向右平移 10个单位得到 ysinx 10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 ysin12x 10 的图象答案：ysin12x 10知识点三 函数yAsinxA0，0，x0，的物理意义1振幅为 A.2周期 T_.3频率 f_.4相位是_5初相是.答案
4、2.2 3.1T 2 4.x5(必修P58 习题 1.5 第 4 题改编)电流 i(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的函数关系是 i5sin100t3，t0，)，则电流 i 变化的初相、周期分别是_解析：由初相和周期的定义，得电流 i 变化的初相是3，周期T 2100 150.答案：3，150热点命题突破 02 课堂升华强技提能热点一“五点法”作图及图象变换【例 1】已知函数 y2sin2x3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y2sin2x3 的图象可由 ysinx 的图象经过怎样的变换而得到【解】(1)y2sin2x3 的振幅 A2，
5、周期 T22，初相 3.(2)令 X2x3，则 y2sin2x3 2sinX.列表如下：x612371256X02322ysinX01010y2sin2x302020描点画出图象，如图所示：(3)方法 1：把 ysinx 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到 ysinx3 的图象；再把 ysinx3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图象；最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图象方法 2：将 ysinx 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin
6、2x 的图象；再将 ysin2x 的图象向左平移6个单位长度，得到 ysin2x6 sin2x3 的图象；再将 ysin2x3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y2sin2x3 的图象.【总结反思】(1)五点法作简图：用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数 ysinx 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(1)把函数 ysin(x6)图象上各点的横坐标缩短到原来
7、的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为()Ax2Bx4Cx8Dx4(2)将函数 y14sinx 34 cosx(xR)的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是_解析：(1)将 ysin(x6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 ysin(2x6)；再将图象向右平移3个单位长度，得到函数 ysin2(x3)6sin(2x2)，故 x2是其图象的一条对称轴方程(2)把 y12sinx3 的图象向左平移 m个单位长度后得到函数y12sinxm3 12sinxm3 的图象，由题意得 m3
8、k2，kZ，即 mk6，kZ，又 m0，取 k0，得 m 的最小值为6.答案：(1)A(2)6热点二 函数 yAsin(x)的图象及性质【例 2】(2017铜陵模拟)已知函数 f(x)Asin(x)b0，|2 的图象的一部分如图所示：(1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)的单调递增区间【解】(1)由图象可知，函数的最大值 M3，最小值 m1.则 A3122，b3121.又 T2236，2T 2 2，所以 f(x)2sin(2x)1.将 x6，y3 代入上式，得 sin3 1.所以322k，kZ，即 62k，kZ.因为|0)来确定；(4)的确定：由函数 yAsin(x)k 最开始与 x
9、轴的交点(最靠近原点)的横坐标为即令x0，x 确定.(2017开封模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0,0)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将 ysinx(xR)的图象上所有的点()A向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变C向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变解析：由图象可知 f(x)sin2x3，由 ysinx 的图象先左移3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为
10、原来的12倍，纵坐标不变答案：C热点三三角函数模型及其应用【例 3】某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos 12tsin 12t，t0,24)(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差【解】(1)f(8)10 3cos128 sin128 10 3cos23 sin2310 312 32 10.故实验室这一天上午 8 时的温度为 10.(2)因为 f(t)10232 cos 12t12sin 12t102sin12t3，又 0t24，所以3 12t373，1sin12t3 1.当 t2 时，sin12t3 1
11、；当 t14 时，sin12t3 1.于是 f(t)在0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4.【总结反思】三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6x k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10解析：因为函数 y
12、3sin6x k 的最小值为 2.所以3k2，得 k5，故这段时间水深的最大值为 358(m)故选 C.答案：C1在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少2由图象确定函数解析式：由函数 yAsin(x)的图象确定 A，的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置要善于抓住特殊量和特殊点温示提馨请 做：课时作业 22（点击进入）三角函数最值问题方法集锦三角函数的最
13、值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解前面介绍了两种类型，还有如下几种常见类型1yasin2xbsinxc 型函数的最值可将 yasin2xbsinxc 中的 sinx 看作 t，即令 tsinx，则 yat2btc，这样就转化为二次函数的最值问题但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的 x 的取值范围，求出 t 的范围另外，yacos2xbcosxc，yasin2xbcosxc 等形式的函数的最值都可归为此类【例 1】设 x6，23，求函数 y4sin2x12sinx1 的最值【解】令
14、 tsinx，由于 x6，23，故 t12，1.y4t212t14t32210，因为当 t12，1 时，函数单调递减，所以当 t12，即 x6，ymax6；当 t1，即 x2时，ymin9.2yasin2xbsinxcosxccos2x 型函数的最值可利用降幂公式sin2x1cos2x2，cos2x1cos2x2，sinxcosxsin2x2将 yasin2xbsinxcosxccos2x 整理转化为 yAsin2xBcos2xC 求最值【例 2】求函数 ysinx(cosxsinx)0 x4 的最大值【解】ysinx(cosxsinx)sinxcosxsin2x12sin2x1cos2x21
15、2(sin2xcos2x)12 22 sin2x4 12.因为 0 x4，所以42x434，所以当 2x42，即 x8时，ymax 212.3yasinxcbcosxd型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sinx或cosx的一次式的形式，一般可将其化为 f(y)sin(x)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值【例 3】求函数 y 3cosx2sinx的最值【解】由 y 3cosx2sinx，得 ysinx 3cosx2y，所以 y23sin(x)2y(其中 为辅助角)，所以 sin(x)2yy23，又|sin(x)|1，所以2yy23 1，2yy2321，解得1y1，故 ymax1
16、，ymin1.4ya(sinxcosx)bsinxcosxc 型函数的最值对于 ya(sinxcosx)bsinxcosxc，令 sinxcosxt，t2，2，因为(sinxcosx)212sinxcosx，所以 sinxcosxt212，则函数就变为 yatbt212c 的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题对于形如 ya(sinxcosx)bsinxcosxc 的函数也可采用同样的方法另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同【例 4】求函数 y(43sinx)(43cosx)的最小值【解】y1612(sinxcosx)9sinxcosx，令 tsin
17、xcosx，则 t 2，2，且 sinxcosxt212，所以 y1612t9t212 12(9t224t23)故当 t43时，ymin72.5通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值【例 5】已知 x(0，)，求函数 y3sinx13sin2x的最大值【解】令 sinxt(0t1)，则 y3t13t231t3t321t3t12，当且仅当 t 33 时等号成立故 ymax12.【例 6】已知 x(0，)，求函数 ysinx 2sinx的最小值【解】设 sinxt(0t1)，则原函数可化为 yt2t，因为 y12t2t22t2 t 2t 2t2，所以当 0t1 时，y0，a1 时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解.
