1、高1/12 三数学试题 一、选择题 1.设1:2px，2:1qx，则 p 是 q 成立的是 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.设全集是 R，集合|lg(1)Ax yx=，21|02Bxx=，则 AB=R A(),1 B1,2 C 1,12 D11,122 3.下列函数是偶函数的是 A.()|25|25|f xxx=+B.21()|2|2xf xx=C.1()(1)1xf xxx+=D.31()f xxx=4.下列函数中，在区间(1,)+上为增函数的是 A.31yx=B.2yx=C.245yxx=+D.|1|2yx=+5.若函数2()34yf xxx
2、=的定义域为0,m，值域为25,44，则 m 的取值范围是 A.(0,4 B.3,42 C.3,32 D.3,2+6.函数()ln|f xxx=的图象可能是 A B C D 7.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2/12 8.已知函数()f x 对于任意Rx，均满足()()2f xfx=，当1x 时，()ln,01e,0 xxxf xx=，(其中 e 为自然对数的底数)，若函数()()2g
3、xm xf x=，下列有关函数()g x 的零点个数问题中正确的为 A.若()g x 恰有两个零点，则0m B.若()g x 恰有三个零点，则 3e2m C.若()g x 恰有四个零点，则 01m D.不存在 m，使得()g x 恰有四个零点 二、多项选择题 9.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是 A.所有的正方形都是矩形 B.x R，2104xx+C.x R，2220 xx+D.至少有一个实数 x，使310 x+=10.设 a，b 为非零实数，且 ab，则下列不等式恒成立的是 A.2aab B.22ab C.2211aba b D.33ab 11.下列函数中，满足(2)2()fx
4、f x=的是 A.()|f xxx=B.()1f xx=+C.()f xx=D.2()f xx=12.已知函数22,1,(),12,xxf xxx+=关于函数()f x 的结论正确的是 A.()f x 的值域为(,4)B.(1)3f=C.()1f x 的解集为(1,1)D.若()3f x=，则 x 的值是3 三、填空题 13.函数1()21f xx=+的定义域为_.14.已知幂函数()2()1mf xmmx=的图象关于 y 轴对称，则不等式30mxmx+的解集是_.15.已知22451(,)x yyx y+=R，则22xy+的最小值是_.16.已知2()f xxax=，若对任意的Ra，存在00
5、,2x，使得0()f xk成立，则实数k的最大值是_.3/12 一选择题（共 8 小题）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二多选题（共 4 小题）题号 9 10 11 12 答案 三填空题（共 4 小题）13_ 14_ 15_ 16_ 四、解答题 17.已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且3b=，cos2cos()BAC=+，sinsin6sinaAcCB+=.（1）求 B；（2）求ABC 的周长.4/12 18.已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差0d，2a 是1a,5a 的等比中项，525S=.（1）求 na的通项公式;（2）若数列 nb满足1nn
6、nbbS+=，求220bb.19.在边长为 2 的菱形 ABCD 中，60BAD=，点 E 是边 AB 的中点（如图 1），将ADE 沿 DE 折起到1A DE 的位置，连接1A B,1AC，得到四棱锥1ABCDE（如图 2）.（1）证明：平面1A BE 平面 BCDE；（2）若1A EBE，连接 CE，求直线 CE 与平面1ACD 所成角的正弦值.A B C D E 图 1 A1 E D C B 图 2 5/12 20.某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投 5 个球，每一个球可以选择在 A区投篮也可以选择在 B 区投篮，在 A 区每投进一球得 2 分，投不进球得 0 分；在
7、 B 区每投进一球得 3 分，投不进球得 0 分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为 23和 12，且各次投篮的结果互不影响.（1）若甲投篮得分的期望值不低于 7 分，则甲选择在 A 区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在 A 区投 3 个球且在 B 区投 2 个球，求甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.21.已知点1.0A（），点 B 是圆221:(1)16Oxy+=相交于点 C，点 C 的轨迹为曲线 E.（1）求 E 的方程；（2）过点 O 作倾斜角互补的两条直线 12,l l，若直线1l 与曲线 E 交于 M,N 两点，直线2l 与
8、圆 O 交于P,Q 两点，当 M,N,P,Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为8 3 时，求直线1l 的方程.6/12 22.已知函数2()ln()f xxxaxx a=+R.（1）证明：曲线 yf x=（）在点(1,(1)f处的切线 l 恒过定点;（2）若()f x 有两个零点1x，2x，且212xx，证明：22124exx+.7/12 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D C D C B 7.解析：设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x、2x、3x、4x，则10 x，20 x，30 x，40 x.由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，可得1324
9、xxxx+=+，由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，可得1234xxxx+，由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和，可得214xxx+，-得()2332232320 xxxxxxxx，+得1232341422xxxxxxxx+，由得21xx，24xx，3241xxxx，即阅读量最大的是丙.故选 C.8.解析：根据()()2f xfx=知()f x 关于1x=对称，作出函数()2h xm x=与函数()f x 的图象如图：设()h x 与()ln1yx x=相切时的切点为()00,lnP xx，则000ln21xxx+=，解得01ex=，此时01emx=，当()h x 过点()2,1 时，3
10、2m=，故 B 选项正确；若()g x 恰有 2 个零点，则0m 或em=，故 A 错误；若()g x 恰有 4 个零点，则302m，故 C、D 选项错误；故选：B 题号 9 10 11 12 答案 BC CD AC AD 12.解析：当1x 时，()f x 的取值范围是(,1，当 12x 时，()f x 的取值范围是0,4)，因此()f x 的值域为(,4)，故 A 正确；当1x=时，2(1)11f=，故 B 错误；当1x 时，由21x+，解得1x ，当 12x 时，由21x ，解得 11x ，因此()1f x 的解集为(,1)(1,1)，故 C 错误；当1x 时，由23x+=，解得1x=（
11、舍去），当 12x 时，由23x=，解得3x=或3x=（舍去），故 D 正确.故选 AD.13.1,2+14.(3,1)15.45 16.128 2 17.（1）解：在ABC 中，ACB+=，所以 cos()cos()cosACBB+=.由 cos2cos()BAC=+，得22cos1cosBB=，即(2cos1)(cos1)0BB+=.因为 0B，所以 cos10B+.所以 2cos10B =，即1cos2B=.所以3B=.8/12（2）解：因为 sinsin6sinaAcCB+=，根据正弦定理得226acb+=.由222cos2acbBac+=，得222cos2acbBac+=.则9ac=
12、.由222()236acdcac+=+=，得6ac+=.所以ABC 的周长为 9.18.（1）解：因为2a 是1a,5 a 的等比中项，所以221 5aa a=.所以()()21114adaad+=+，得22112da d=.因为0d，所以12da=.因为525S=，所以1545252ad+=.解得11a=，2d=.所以12(1)21nann=+=.（2）解法 1：由（1）得()122nnn aaSn+=，由21nnnbbSn+=，得212(1)nnbbn+=+，所以222(1)21nnbbnnn+=+=+.所以()()()2022018181642bbbbbbbb=+(2 181)(2 16
13、1)(221)=+2(18162)9=+(182)9292+=+189=所以220189bb=.解法 2：由（1）得()122nnn aaSn+=.由21nnnbbSn+=，得212(1)nnbbn+=+，所以222(1)21nnbbnnn+=+=+.则422(2)125nnbbnn+=+=+，所以446nnbbn+=+.则844(4)6422nnbbnn+=+=+，所以8828nnbbn+=+.则1688(8)28892nnbbnn+=+=+，所以1616120nnbbn+=+.而18162(16)1233nnbbnn+=+=+，所以1818153nnbbn+=+.所以20218 2 153
14、189bb=+=，所以220189bb=.19.（1）法一：证明：连接 BD.ABCD 为菱形，ABAD=.又60BAD=，ABD为正三角形.E 为 AB 中点,DEAB.9/12 DEBE,1DEA E,1BEAEE=,1,BE A E 平面1A BE DE 平面1A BE,又DE 平面 BCDE.法二：连接 BD,四边形 ABCD 为菱形，ABAD=又60BAD=,ABD为等边三角形,DEAB DEBE,1DEA E,又1BEA EE=,DE 平面1A BE DE 平面 BCDE,平面1A BE 平面 BCDE.（2）1AEBE,1,EB ED EA两两垂直，以 E 为坐标原点，分别以 E
15、B,ED,1EA 分别为 x,y,z 轴建立直角坐标系 Exyz.菱形的边长为 2，3DE=,(0,3,0)D 1AE=,1(0,0,1)A,2CD=,(2,3,0)C 设平面1ACD 的法向量为(,)nx y z=100CD nA D n=,2030 xyz=不妨设1y=,则3z=,0 x=,(0,1,3)n=,(2,3,0)CE=设 CE 与平面1ACD 所成角为 ,321sincos,1472CE nCE nCE n=.20.(1)解：设甲选择在 A 区投篮的球数为(0,1,2,3,4,5)a a=，进球数为1X，得分为 1Y，则 112YX=.因为12,3XB a，所以()123E X
16、a=，()()11423E YEXa=.所以甲在 A 区投篮得分的期望值为 43 a.甲在 B 区投篮的球数为5a，进球数为2X，得分为2Y，则223YX=.因为215,2XBa，()21(5)2E Xa=，()()2233(5)2E YEXa=.所以甲在 B 区投篮得分的期望值为 3(5)2a.依题意得 43(5)732aa+，解得3a.所以甲选择在 A 区投篮的球数最多是 3 个.(2)解法 1：设“甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C，“甲在 A 区投篮得 6 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D，“甲在 A 区投篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或
17、0 分”为事件 E，“甲在 A 区投篮得 2 分且在 B 区投篮得 0 分”为事件 F，则事件CDEF=，且事件 D，事件 E 与事件 F 之间两两互斥，10/12 321221112()32229P DC=+=，222132211111()332223P ECC=+=，22132111()33218P FC=，21111()()931818P CP DEF=+=.所以甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 1118.解法 2：设甲在 A 区投篮得分为 X，在 B 区投篮得分为 Y，其分布列分别为：X 0 2 4 6 P 213 2132133C 2232133C 323 X 0
18、3 6 P 212 121122C 212 设“甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C，则()(0)1(0)(3)(4)(6)P CP YP XP YP Xp X=+=+=1114814272927=+1118=.所以甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 1118.21.(1)解：由己知得，圆1O 的圆心为1(1,0)O，半径14rBO=，点(1,0)A.因为线段 AB 的垂直平分线与1BO 相交于点 C，所以 CACB=.所以11114CACOCBCOBOO A+=+=.所以点 C 的轨迹是以1O，A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆.设曲线 E 的方程为22221
19、(0)xyabab+=，则 24a=，1c=，2223.bac=所以 E 的方程为22143xy+=.(2)由题意可知，直线 12,l l 的斜率都存在且不为 0，设 1:(1)lyk x=+，()11,M x y，()22,N xy，由22143(1)xyyk x+=+得()22224384120kxk xk+=，()()()()2222284 4341214410kkkk=+=+，22121 2228412,4343kkxxx xkk+=+，()22212121 2114MNkxxkxxx x=+=+11/12 2222228412144343kkkkk=+()22222121121143
20、43kkkkk+=+=+.由于直线2 l 过圆1O 的圆心，则114POQO=且 P，Q 两点到直线 MN 的距离相等，设直线2 l 的倾斜角为 ，则 tan()k=即 tank=.又 P 到直线 MN 的距离122222tan82sincossin 244sincos1tan1kdPOk=+.则四边形 MPNQ 的面积296243PMNkSSdMNk=+.由于四边形 MPNO 的面积为8 3，则2968 343kk=+，解得32k=.所以直线1l 的方程为3(1)2yx=+.22.(1)解：函数()f x 的定义域为(0,)+，由2()lnf xxxaxx=+，得()ln22f xxax=+
21、，则(1)22fa=又(1)1fa=，则曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线 l 的方程为(1)2(1)(1)yaa x=，即12(1)2ya x=所以直线 l 恒过定点 1,02(2)()f x 有两个零点12,x x，则21111ln0 xxaxx+=，22222ln0 xxaxx+=得121122lnln11xxaxxxx=+=+因为2120 xx，令21(2)xtx t=，则()111111lnln11txxxxtxtx+=+得1lnln11txt=，则()211lnlnlnlnln11ttxtxtxt=+=令ln()1(2)1tth ttt=，则22(ln1)(1)lnln1()(1)(1)tttttth ttt+=令()ln1(2)tttt=，则1()10tt=则()t在(2,)+上单调递增 所以2ln1()0(1)tth tt=.所以()()011ln2=tttth 所以()h t 在(2,)+上单调递增 12/12 所以4()(2)2ln2 1ln eh th=所以24lnln ex 所以24ex 所以221224exxx+
