1、第六章不等式及其证明深研高考备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年不等式的概念和性质5,5分(文)20,6分(理) 3,5分(文)6,5分(文)20,4分(文)8,5分(理)9,5分(理)7,5分(文)7,5分(文)10,5分(文)9,5分(理) 21,3分(文)不等式的解法1,5分(理)1,5分(理) 1,5分(文)6,5分(理)15,4分(理)21,4分(文)2,5分(理)7,5分(理)21,4分(文)1,5分(理)21,5分(文)17,4分(理)简单的线性规划3,5分(理) 4,5分(文)14,4分(理)14,4分(文)13
2、,4分(理) 12,4分(文)13,4分(理)15,4分(文)22(2)，7分(理) 14,4分(文)基本不等式20,14分(文)16,4分(文)绝对值不等式18,15分(理) 20,14分(理)18,15分(理)10,5分(理) 22,14分(理)22(2)，7分(理)22,14分(理) 21(2)，7分(文)重点关注从近五年浙江卷高考题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，解答题重点考查绝对值不等式与二次函数相交汇问题，不等式的证明问题第一节不等式的性质与一元二次不等式1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；
3、(2)abab0；(3)ababbbb，bcac；(单向性)(3)可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(单向性)(6)开方法则：ab0(n2，nN)；(单向性)(7)倒数性质：设ab0，则a.(双向性)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xbac2bc2.()(2)
4、ab0，cd0.()(3)若不等式ax2bxc0.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列四个结论，正确的是()ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.ABCDD利用不等式的同向可加性可知正确；对于，根据不等式的性质可知acb0可知a2b20，所以b，则下列不等式恒成立的是()Aa2b2B.1C2a2bDlg(ab)0C取a1，b2，排除A，B，D.故选C.4不等式x23x40的解集为_(用区间表示)(4,1)由x23x40得x23x40，解得4x0的解集为(4,1)5若不等式mx22mx10
5、的解集为R，则m的取值范围是_. 【导学号：51062180】0,1)当m0时，10显然成立；当m0时，由条件知得0m1，由知0my0，则()A.0Bsin xsin y0C.xy0(2)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围(1)C函数yx在(0，)上为减函数，当xy0时，xy，即xyy0y0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；xy0xy0/ ln(xy)0/ ln xln y0，故D错误(2)由题意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.3分设m(ab)n(ab)4a2b，则解得10分f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1
6、).12分1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范围为5,10.14分规律方法1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形2判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明3由af(x，y)b，cg(x，y)d求F(x，y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围变式训练1(1)(2017杭州二中2月模拟)若0，则下列结论不正确的是()A
7、a2b2Babb2Cab|ab|(2)若角，满足，则的取值范围是()A.B.C.D.(1)D(2)B(1)由题可知ba0，所以A，B，C正确，而|a|b|ab|ab|，故D错误，选D.(2)，.又，0，从而0.一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa0. 【导学号：51062181】解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3.7分(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1).14分迁移探究将(2)中不等式改为ax2(a1)x1
8、0，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.4分若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解 (x1)0得1x.12分综上所述：当a1；当0a1时，解集为.14分规律方法1.解一元二次不等式的步骤：(1)使一端为0且把二次项系数化为正数(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法(3)写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时
9、可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式变式训练2(2016宁波中学期末)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.一元二次不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)求参数的范围(2017嘉兴一中月考)不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2角度2形如f(x)0求
10、参数的范围设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；9分当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.6分因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.14分角度3形如f(x)0(参数ma，b)求x的范围对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_x|x3x2(k4)
11、x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x3.规律方法1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数2对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值思想与方法1倒数性质，若ab0，则ab0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或5“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形
12、6解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏易错与防范1运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件2求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围3对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形4当0(a0)的解集为R还是，要注意区别5含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论6不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述课时分层训练(三十)不等式的性质与一元二次不等式A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知ab，cd，且c，d不为0，那
13、么下列不等式成立的是()AadbcBacbdCacbdDacbdD由不等式的同向可加性得acbd.2已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1,1 B2,2C2,1D1,2A法一：当x0时，x2x2，1x0；当x0时，x2x2，0b1”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件A因为a，若ab1，显然a0，则充分性成立，当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立4(2016绍兴一模)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xln 3Bx|1xln 3Dx|xln 3D设1和是方程x2axb0的两个实数根，a，b1，一
14、元二次不等式f(x)0的解集为x.不等式f(ex)0可化为1ex.解得xln ，x0的解集为x|xln 35若集合A，则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4Da|0a4D由题意知a0时，满足条件，a0时，由得00的解集为_. 【导学号：51062182】2x2x10，即2x2x10，(2x1)(x1)0，解得x0的解集为.7(2017嘉兴二模)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_4,2不等式f(x)1或解得4x0或0x2，故不等式f(x)1的解集是4,28若关于x的不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_(，0不等式4x2x1a0在1,2上恒
15、成立，4x2x1a在1,2上恒成立令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.1x2，22x4.由二次函数的性质可知：当2x2，即x1时，y取得最小值0，实数a的取值范围为(，0三、解答题9设xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小. 【导学号：51062183】解(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy).7分xy0，xy0，12分(x2y2)(xy)(x2y2)(xy).14分10已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)f(x
16、)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，2分原不等式可化为a26a30，解得32a32，原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，10分等价于解得14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017诸暨一模)若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(6，)D(，6)A不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.2在R上定义运算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1
17、对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_. 【导学号：51062184】由题意知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y10对于xR恒成立故124(1)(y2y1)0，所以4y24y30，解得y0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围解(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2，2分当且仅当x时，即x1时，等号成立，所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.6分(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使得“x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2上恒成立”.9分不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可，所以即解得a，13分则a的取值范围为.14分
