1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的_我们把直线画成虚线以表示区域_边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应_边界直线，则把边界直线画成_ (2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都_，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0By0C的_即可判断AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划(1)不等式组是一组对变
2、量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件ZAxBy是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为 由于ZAxBy是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的_的问题，统称为线性规划问题(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做_，由所有可行解组成的集合叫做_其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的_线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内(4)用图解法解决简单的线性规
3、划问题的基本步骤：首先，要根据_ (即画出不等式组所表示的公共区域)设_，画出直线l0.观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解最后求得目标函数的_(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出_条件，确定_函数然后，用图解法求得数学模型的解，即_，在可行域内求得使目标函数_自查自纠1(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)线性约束条件画出可行域z0最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解 不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的()A左下方 B左上方C右下方
4、D右上方解：画出直线并取原点代入知C正确故选C. ()已知点P(2，t)在不等式组 表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x4y100距离的最大值为()A2 B4 C6 D8解：画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)结合图形可知，点A到直线3x4y100的距离最大由 得A点坐标为(2，1)，故所求最大距离为dmax4.故选B. ()若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为()A7 B1 C1 D2解：作出不等式组 表示的可行域如图中阴影部分所示，当平行直线系z3xy过点A(2，1)时取最小值，即zmin3(2)17.故选A. 点在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是 解：在
5、2x3y60的上方，则23t60，解得t.故填 . ()若x，y满足约束条件 则的最大值为_解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点(x，y)与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.故填3.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，则使函数yax的图象过区域M的a的取值范围是()A1，3B2，C2，9D，9解：如图，阴影部分为平面区域M，显然a1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a19且a38即2a9，故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，
6、再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点；这里的曲线yax是过定点(0，1)的一系列曲线()不等式组表示的平面区域的面积为_解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|2，C点坐标(8，2)，SABCSABDSBCD2(22)4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解()若变量x，y 满足约束条件 则z2xy 的最小值等于()A B2 C D2解：可行域如图中阴影部分，当直线过点A，z2xy有最小值.故选A.【点拨】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数z2xy，求出最值，这种代入的方法对于解线性规划的含参问题往往更
7、优若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解设x，y满足则zxy()A有最小值2，最大值3 B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值 D既无最小值，也无最大值解：画出不等式组表示的平面区域，如图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值为zmin202，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，yxz向右上方移动时，zxy也趋于无穷大，所以zxy无最大值，故选B.类型三含参数的线性规划问题(1)若不等式组所表示的平面区域
8、被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是()A. B. C. D.解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线ykx只需经过线段AB的中点D即可，易得D点的坐标为，代入可得k.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1 C2 D3解：如图可得阴影部分即为满足x10与xy10的可行域，而直线axy10恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为ABC，因为ABC的点A和B的坐标分别为A(0，1)和B(1，0)，且SABC2，设
9、点C的坐标为C(1，y)，则1y2y4，将点C(1，4)代入axy10得a3.故选D.【点拨】此类问题综合性较强，注意到ykx，axy10都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解注意把握住两点：参数的几何意义；条件的合理转化(1)已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数zaxy的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2，0)处取得最大值，有a204，得a2.故选B.(2)()若变量x，y满
10、足约束条件 且z2xy的最小值为6，则k_.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k，k)，(4k，k)，(2，2)，且可行域如图，则k2.最小值在点(k，k)处取得，3k6，得k2.故填2.类型四利用线性规划求非线性目标函数的最优解若实数x，y满足x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_解：x2y21表示圆x2y21及其内部，此时6x3y0，故|6x3y|6x3y，令z|2xy2|6x3y|6x3y|2xy2|，当2xy20时，zx2y4，目标函数z在点A 处取得最小值，zmin3；当2xy20时，z83x4y，同理可知，目标函数z在点A处取得最小值，zmin3，综上所述，|2
11、xy2|6x3y|的最小值为3.故填3.【点拨】本题可行域是圆及其内部的点，首先可以从目标函数的两个绝对值号中去掉一个，再分类讨论去掉另一个绝对值号，注意充分利用目标函数或可行域的几何意义实系数方程f(x)x2ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)的值域；(2)(a1)2(b2)2的值域解：由题意知可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A(3，1)，B(2，0)，C(1，0)如图所示(1)设kbk(a1)2，则k表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)连线的斜率，因为A(3，1)，C(1，0)，则kAQ，kCQ1，kAQkkCQ，k1.的值域是.(2)
12、(a1)2(b2)2表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)的距离的平方，显然，当动点P(a，b)和点C(1，0)重合时距离最小，最小值为2，而P(a，b)和点A(3，1)重合时距离最大，最大值为，所以(a1)2(b2)2的值域为(8，17)类型五线性规划与整点问题设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(anN*)，则数列an的通项公式为_解：直线ynx3nn(x3)，过定点(3，0)，由ynx3n0得x3，又x0，所以x1或x2.直线x2交直线ynx3n于点(2，n)，直线x1交直线ynx3n于点(1，2n)，所以整点个数ann
13、2n3n.故填an3n.【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x4y的最小值为()A14 B16 C17 D19解：画出可行域如图，令3x4yz，yx，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当yx过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin34416.故选B.类型六线性规划在实际问题中的应用()某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表
14、所示如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元 C17万元 D18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，则 目标函数为z3x4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域由z3x4y得yx，平移直线yx至经过点B时，直线yx的纵截距最大，此时z最大，解方程组 得 即B(2，3)zmax3x4y61218.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元故选D.【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位
15、于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元解：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z200x300y，甲、乙两种设备每天生产A，B两类产品的情况如下表所示：产品设备A类产品(件)(50)B类产品(件)(140)租赁费(元)甲设备510200乙
16、设备620300则x，y满足的关系为即作出不等式组表示的平面区域，当z200x300y对应的直线过两直线的交点(4，5)时，目标函数z200x300y取得最小值为2300元故填2300.1解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线AxByC0不经过原点，则把原点代入AxByC，通过AxByC的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置2求目标函数zaxby(ab0)的最值，将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值最优解一般在顶点或边界取得但要注意：当b0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最
17、小值，z也取最小值；当b0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值3如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPimxny，比较各个ZPi，得最大值或最小值1()不等式组所表示的平面区域的面积为()A1 B. C. D.解：作出不等式组对应
18、的区域为如图BCD，由题意知xB1，xC2.由 得yD，所以SBCD(xCxB).故选D.2()设变量x，y满足约束条件 则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yxz，由图可知，当直线yxz经过点(1，1)时，z取得最小值3.故选B.3()若变量x，y满足约束条件 则z3x2y的最小值为()A. B6 C. D4解：作出如图所示的可行域，当直线yx经过A时z取得最小值联立 解得 此时，z312.故选C.4若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A. B(0，1C. D(0，1解：如图，由条件可知，
19、当直线xya在直线xy右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a时，可行域可以组成一个OAB；当0a1，可以组成一个三角形，所以0a1或a，故选D.5()设变量x，y满足|x|y|1，则2xy的最大值和最小值分别为()A1，1 B2，2 C1，2 D2，1解：不等式|x|y|1表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线l0：2xy0，平移直线l0，当l0经过点(1，0)时，2xy取最大值2，当l0经过点(1，0)时，2xy取最小值2.故选B.6()已知实数x，y满足不等式组 若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a的取值范围为()A(，1) B(0，1)C1，) D(1，)
20、解：作出不等式组对应的平面区域BCD，由zyax，得yaxz，要使目标函数yaxz仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线yaxz仅在点B(1，3)处的截距最大，由图象可知akBD，kBD1，a1，即a的取值范围是(1，)故选D.7()若x，y满足约束条件 则zxy的最大值为_解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A(0，1)，B(2，1)，C，可得zxy在C点处取得最大值为.故填.8若x，y满足 且zyx的最小值为4，则k的值为_解：由所给条件知目标函数取最小值4时，对应的直线为yx4，由xy20且y0知，直线kxy20过点(4，0)，k.故填.9变量x，y满足(1)假设z14x3y，求z1的
21、最大值；(2)设z2，求z2的最小值；(3)设z3x2y2，求z3的取值范围解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)(1)z14x3yyx，易知平移yx至过点C时，z1最大，且最大值为453214.(2)z2表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小故z2的最小值为.(3)z3x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2OB2OA2OC229.故z32，2910()某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05.(1)
22、分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，zxP甲yP乙最大，最大值是多少？用量 项目 产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得 解得故甲产品为一等品的概率P甲0.65，乙产品为一等品的概率P乙0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为 且z0.65x0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域作直线l：0.65x0.4y0即13x8y0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域
23、内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值解方程组 得故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为zmax0.6520.432.5.11若关于x的实系数方程x2axb0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，3)内，记点(a，b)对应的区域为S.(1)设z2ab，求z的取值范围；(2)过点(5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线l的方程解：(1)方程x2axb0的两根分别在区间(0，1)和(1，3)上的几何意义是：函数yf(x)x2axb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，3)内，由此
24、可得不等式组 即 则在坐标平面aOb内，点(a，b)对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中A，B，C三点的坐标分别为(4，3)，(3，0)，(1，0)(1)令z2ab，则直线b2az经过点A时，z取得最小值，经过点C时，z取得最大值，即zmin11，zmax2，又A，B，C三点不在可行域内，所以11z2.(2)过点(5，1)的光线经x轴反射后的光线所在直线必过点(5，1)，由图可知，区域S内满足条件的整点为(3，1)，所以所求直线l的方程为：y1(x5)，即yx4. ()当实数x，y满足 时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，(2，1)，都代入1axy4得 解不等式组可得1a.故填.