1、2.2.4 平面与平面平行的性质【自主预习】主题：平面与平面平行的性质定理 1.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线存在哪些位置关系？提示：根据平面平行的定义，两个平面没有公共点，则这两个平面内的直线没有公共点，所以这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面.2.分别在两平行平面内的两条直线在什么条件下才是 平行的？用文字语言描述：当两直线_时，两条直线才平行.共面 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们交线平行【深度思考】结合教材P60例5你认为怎样运用两平面平行的性质定 理证线线平行？第一步：_.第二步：_ _.第三步：_.找到两平行平面 找到(或作出)与
2、两平行平面都相交的第三 个平面 利用性质定理说明交线平行【预习小测】1.平面 与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是()A.相交 B.异面 C.平行 D.平行或异面【解析】选C.因为圆台的上、下两个底面平行，平面 与圆台的上、下底面的交线分别为m，n，所以mn.2.平面 平面，直线a，直线b，下面四种情形：ab.ab.a与b异面.a与b相交.其中可能出现的情形有()A.1种 B.2种 C.3种 D.4种【解析】选C.因为平面，a，b，所以直线a与b没有公共点，当直线a与b共面时，ab；当直线a与b异面时，a与b所成的角可以是90，故，都有可能正确.3.已知 ，a，B，则在
3、 内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线【解析】选D.直线a与B可确定一个平面，因为B ，所以 与 有一条公共直线b，由线面平行的性质定理知ba，所以存在性成立.因此过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b唯一.4.六棱柱的两底面为，且A，B，C，D，ADBC，则AB与CD的位置关系是_.【解析】因为ADBC，且平面ABCD=AB，平面ABCD=CD，又，所以ABCD.答案：平行 5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与
4、A1C1的位置关系是_.【解析】因为平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD平面A1C1B=l，平面A1B1C1D1平面A1C1B=A1C1，所以lA1C1(面面平行的性质定理).答案：平行【互动探究】1.在平面与平面平行的条件中，若去掉条件 结论是否成立？提示：当去掉条件 结论不一定成立，直线a，b可能重合、平行或相交，如图：2.若 ，a，则a与 的关系是什么？提示：因为 ，故 与 没有公共点，又a，所以a与 没有公共点，所以a.【探究总结】知识归纳：方法总结：空间中平行关系相互转化的方法【题型探究】类型一：利用平面与平面平行的性质定理证明线线平行【典例1】如图，两条异面直线AB，CD
5、与三 个平行平面，分别相交于A，E，B 及C，F，D，又AD，BC与平面的交点为H，G.求证：四边形EHFG为平行四边形.【解题指南】利用面面平行的性质证明EHBD，GFBD及EGAC，HFAC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.【证明】同理，ACHF.EGHF.同理，EHFG.故四边形EHFG是平行四边形.【规律总结】证明线线平行的四种常用方法(1)定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.(2)平行公理：ab，bcac.(3)线面平行的性质定理：ab.(4)面面平行的性质定理：ab.【巩固训练】1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC
6、平面BC1N=N.求证：N为AC的中点.【证明】因为平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1M=AM，平面BC1N平面ACC1A1=C1N，所以C1NAM，又ACA1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN=C1M=A1C1=AC，所以N为AC的中点.12122.如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B平面ABC=l1，平面ADC1平面A1B1C1=l2.求证：l1l2.【证明】由棱柱的性质知，平面ABC平面A1B1C1，又因为平面A1D1B平面ABC=l1，平面A1D1B平面A1B1C1=A1D1，所以A1D1l1
7、，同理ADl2，因为D1，D分 别是B1C1和BC的中点，所以D1DB1B，又B1BA1A，所 以AA1DD1，所以四边形AA1D1D是平行四边形，所以 A1D1AD，故l1l2.类型二：利用平面与平面平行的性质定理证明线面平 行【典例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于点B，A 和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN平面.【解题指南】可先过点A作CD的平行线AE，由面面平行的性质得线线平行，进而求证线面平行.【证明】如图，过点A作AECD交于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.因为AECD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC=DE
8、，平面AEDC=AC，因为，所以ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PNDE，PN，DE，所以PN.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MPBE，且MP，BE.所以MP，所以平面MPN.又MN平面MPN，所以MN平面.【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)本题中，若将条件“两条异面直线BA，DC”改为“两条共面直线BA，DC”其他条件不变，证明：MN平面.【证明】因为AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与，的交线为BD，AC.因为，所以ACBD.又因为M，N为AB，CD的中点，所以MNBD.又因为BD平面，所以MN平面.2.(变换条件、改变问法)本题中，若将条件“两条异 面直线BA
9、，DC与两平行平面，分别交于点B，A和 D，C，M，N分别是AB，CD的中点”改为“与三个平行 平面，分别交于A，B，C和D，E，F”，求 证：ABDE.BCEF【证明】如图，连接AF，交于G，连接BG，EG，则由得BGCF，即 由得GEAD，即 所以 ABAG.BCGFAGDEGFEF，ABDE.BCEF【规律总结】把握面面平行性质定理的关键(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交.(2)定理的实质：面面平行线线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.类型三：面面平行的性质定理的综合应用【典例3】已知：如图，三棱柱ABC-A1B1C1
10、 中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.若平 面BC1D平面AB1D1，求 的值.ADDC【解题指南】连接A1B交AB于点O，连接OD1，根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1D1O，同理AD1DC1，根据比例关系即可求出所求.【解析】如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.因为平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BDC1=BC1，平面A1BC1平面AB1D1=D1O，所以BC1D1O，所以D1为线段A1C1的中点.所以D1C1=A1C1.因为平面BC1D平面AB1D1，且平面AA1C
11、1C平面BDC1=DC1，平面AA1C1C平面AB1D1=AD1，所以AD1DC1.又因为ADD1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD=C1D1=A1C1=AC，所以 =1.121212ADDC【规律总结】应用平面与平面平行的性质定理的四个步骤(1)审条件：审题看是否有平面与平面平行.(2)找平面：找(或作)第三个平面与已知两个平面相交.(3)定交线：确定交线的位置.(4)得平行：得两条交线互相平行.【巩固训练】如图所示，在底面是平行 四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PEED=21，在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？并证明你的结论.【解析】当F是棱PC的中点时，BF平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FMCE，由EM=PE=ED，知E是MD的中点，设BDAC=O，则O为BD的中点，连接OE，则BMOE，又FMBM=M，CEOE=E，OE平面AEC，12由可知，平面BFM平面AEC，又BF平面BFM，所以BF平面AEC.
