1、数学 第2节 空间几何体的表面积与体积 数学 最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.数学 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的?提示:将其侧面展开利用平面图形面积公式求解.2.将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么图形?提示:矩形、扇形、扇环.数学 知识梳理 空间几何体的表面积和体积公式如下 表面积 体积 棱柱 S 表=S 侧+2S 底 棱柱的底面积为 S,高为 h,V=Sh 棱锥 S 表=S 侧+S 底 棱锥的底面积为 S,高为 h,V=13Sh 棱台
2、S 表=S 侧+S 上底+S 下底 棱台的上、下底面面 积为 S,S,高为 h,V=13(S+S S+S)h 圆柱 圆柱的底面半径和 母线长分别为 r,l S 表=圆柱的高为 h,V=r2h 圆锥 圆锥的底面半径和 母线长分别为 r,l S 表=+rl 圆锥的高为 h,V=13 r2h 圆台 圆台的上、下底面半 径和母线长分别为 r,r,l,S 表=(r2+r2+rl+rl)圆台的高为 h,V=13(r2+rr+r2)h 球 球半径为 R,S 球=4 R2 表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之 和 V 球=34 3 R V 柱=Sh S=S V 台=13(S+S S+S)h S=0 V
3、锥=13Sh 2 r2+2 rl r2 数学【重要结论】1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球:球心是正方体中心;半径 r=32 a(a 为正方体的棱长);(2)内切球:球心是正方体中心;半径 r=2a(a 为正方体的棱长);(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径 r=22 a(a 为正方体的棱长)2.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)外接球:球心是正四面体的中心;半径 r=64 a(a 为正四面体的棱长)内切球:球心是正四面体的中心;半径 r=612 a(a 为正四面体的棱长)数学 夯基自测 1.圆柱的底面积为 S,侧面展开图是一个正方形
4、,那么圆柱的侧面积是()(A)4 S(B)2 S(C)S(D)2 33 S 解析:由r2=S 得圆柱的底面半径是S,故侧面展开图的边长为 2S=2S,所以圆柱的侧面积是 4S.故选 A.A 数学 2.(2016四川成都七中实验学校零诊)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()(A)24+4 (B)16+6 (C)24+2 (D)16+4 解析:由三视图可知该几何体是由两个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组合而成的,表面积为S=4+226-2=24+2,故选C.C 数学 3.(2014 高考新课标全国卷)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某零件
5、的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()(A)1727 (B)59 (C)1027 (D)13 C 解析:原来毛坯体积为 V=326=54,零件的体积 V1=322+224=34,所求的比值为1VVV=543454=1027.数学 4.已知正四棱锥 O ABCD 的体积为 3 22,底面边长为3,则以 O为球心,OA 为半径的球的表面积是 .解析:设 O 到底面的距离为 h,则 133h=3 22,解得 h=3 22.OA=2262h=6,故球的表面积为 4(6)2=24.答案:24 数学 5.(2016海淀模
6、拟)已知某四棱锥,底面是边长为2的正方形,且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形,则它的体积为 .解析:由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为 O(如图),又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜边为 BC=2,斜边上的高为SO=1,此高即为四棱锥的高,故 V=13221=43.答案:43 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 几何体的表面积 几何体的表面积【例1】(1)(2014高考山东卷)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .解析:(1)设该六棱锥的高为 h,则 13634 22h=26,解得 h=1,底面正六边形的中心到其
7、边的距离为6,故侧面等腰三角形底边上的高为31=2,故该六棱锥的侧面积为 12122=12.答案:(1)12 数学(2)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 .解析:(2)由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉两个全等的三棱锥后得到的几何体,因此其表面积为 622-6 1211+234(2)2=21+3.答案:(2)21+3数学 反思归纳 几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形来解决.(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意
8、重合部分的处理.(4)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.数学【即时训练】(1)(2015高考新课标全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r等于()(A)1(B)2(C)4(D)8 解析:(1)由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为 2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由 5r2+4r2=16+20,得 r=2.故选 B.数学(2)(2015 高考安徽卷)一个四面体
9、的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()(A)1+3 (B)2+3 (C)1+22 (D)22 解析:(2)四面体的直观图如图所示.侧面 SAC底面 ABC,且SAC 与ABC 均为腰长是2 的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=2,AC=2.设 AC 的中点为 O,连接 SO,BO,则 SOAC,所以 SO平面 ABC,所以 SOBO.又 OS=OB=1,所以 SB=2,故SAB 与SBC 均是边长为2 的正三角形,故该四面体的表面积为 2 12 2 2+234(2)2=2+3.故选 B.数学 考点二 几何体的体积【例 2】(1)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长
10、为 1 的正方形,且ADE,BCF 均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()(A)23 (B)33 (C)43(D)32 解析:(1)如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,CH,容易求得 EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,所以 SAGD=SBHC=1222 1=24,所以 V=EADGV+FBHCV+AGDBHCV=2EADGV+AGDBHCV=1324 122+24 1=23.故选 A.答案:(1)A 数学(2)(2015 高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()(A)8 cm3 (B)12
11、cm3 (C)323 cm3(D)403 cm3 解析:(2)该几何体是由棱长为 2 的正方体和底面边长为 2,高为 2 的正四棱锥组合而成的几何体.故其体积为 V=222+13222=323(cm3).故选 C.答案:(2)C 数学(3)(2014 高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.解析:(3)该几何体是一个组合体,上半部分是一个圆锥,下半部分是一个圆柱.因为 V 圆锥=13222=83 m3,V 圆柱=124=4 m3,所以该几何体体积 V=83+4=203 m3.答案:(3)203数学 反思归纳 求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关
12、的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系.(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.(3)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.数学 解析:(1)由三视图可知直观图是一个底面为边长等于 3 的正方形,高为 1 的四棱锥,由棱锥的体积公式得 V 四棱锥=13321=3.【即时训练】(1)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为 .答案:(1)3 数学 解析:(2)因为 B1CA1D,B1C 平面 ADD1A1,所以 B1C平面 ADD1A1,
13、所以 F 到平面 ADD1A1的距离等于 B1到平面 ADD1A1的距离即 A1B1=1.所以1D EDFV=1FDD EV=113D DEVA1B1=13 12111=16.(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .答案:(2)16数学 与球有关的切、接问题【例 3】(1)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()(A)5003cm3(B)8663cm3(C)13723cm3(
14、D)20483cm3 考点三 解析:(1)设球半径为 R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm,球心到截面圆圆心的距离为(R-2)cm,所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5.所以球的体积为 V=43R3=4353=5003cm3.故选 A.答案:(1)A 数学(2)(2015 长春模拟)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为S2,则12SS=.解析:(2)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=434 a2=3 a2,其内切球半径为正四面体高的 14,即 r=1463 a=612 a,因此内切球表面积为 S2=4r2=26a,则12
15、SS=2236aa=6 3.答案:(2)6 3数学 解析:(1)如图所示,设球半径为 R,底面中心为 O且球心为 O,因为正四棱锥 P-ABCD 中,AB=2,所以 AO=2.因为 PO=4,所以在 RtAOO中,AO2=AO2+OO2,所以 R2=(2)2+(4-R)2,解得 R=94,所以该球的表面积为 4R2=4(94)2=814.故选 A.【即时训练】(1)(2014 高考全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为()(A)814(B)16 (C)9 (D)274 答案:(1)A 数学 解析:(2)依题意可知,新的几何体的外接球也就是
16、原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线;所以 2R=23(R 为球的半径),所以 R=3,所以球的体积 V=43R3=43.(2)一个正方体削去一个角所得的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为 .答案:(2)43 数学 反思归纳 “切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心
17、到多面体的顶点的距离等于球的半径.数学 考点四 折叠与展开问题【例 4】如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中,底面 ABC 为直角三角形,ACB=90,AC=6,BC=CC1=2.P 是 BC1上一动点,则 CP+PA1的最小值为 .解析:法一 由题意知,A1P 在几何体内部,但在面 A1C1B 内,把面 A1C1B 沿BC1展开与CBC1在一个平面上如图,连接 A1C,则 A1C 的长度,即 CP+PA1的最小值.因为ACB=90,三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,AC=6,BC=C1C=2,所以A1C1B=90,A1C1=6,所以CC1A1=45+90=135.在CC1A1中,A
18、1C2=A121C+C21C-2A1C1CC1cos 135=50,所以 A1C=52,即 CP+PA1的最小值为 52.数学(教师备用)法二 设 C1P=x,由已知可得A1C1P 为直角三角形,则 PA1=236x,在CC1P 中CC1P=45,CC1=2,由余弦定理得 CP=2211112cos45C PCCC P CC。=222xx.因为 CP+PA1=222xx+236x =22101x+22006x 故可以看作 x 轴上的动点 M(x,0)到两个定点 E(1,1),F(0,6)的距离之和,E点关于 x 轴的对称点 E(1,-1).所以 CP+PA1|EF|=221016 =50=52
19、.答案:52 数学 反思归纳 (1)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.(2)解决折叠问题的技巧 解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化.数学【即时训练】如图,三棱锥S-ABC中,SA=AB=AC=2,ASB=BSC=CSA=30,M,N分别为SB,SC上的点,则AMN周长的最小值为 .解析:展开三棱锥的侧面,如图所示.因为原三棱锥中ASB=BSC=CSA=30,SA=AB=AC=2,所以ASA是等腰直角三角形,连接 AA可得AM
20、N 周长的最小值为 22.答案:22 数学 备选例题 【例 1】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(A)83 (B)3 (C)103 (D)6 解析:根据三视图知该几何体的下面是一个圆柱,上面是圆柱的一半,所以 V=2+122=3.故选 B.数学【例2】(2016邢台摸底考试)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体外接球的表面积为 .解析:依题意得,题中的几何体是一个底面是正方形(边长为 2)、一条侧棱(该侧棱长为 2)垂直于底面的四棱锥,可将其补成一个棱长为 2 的正方体,因此其外接球即是该正方体的外接球,则 2R(R 为外接球的
21、半径)=23,因此该多面体的外接球的表面积等于 4R2=12.答案:12 数学【例 3】(2015 江西九江模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 2 的球O 的球面上,且 AB=3,BC=3,过点 D 作 DE 垂直于平面 ABCD,交球 O 于 E,则棱锥 E-ABCD 的体积为 .解析:如图所示,BE 过球心 O,所以 DE=222433=2,所以EABCDV=1333 2=23.答案:23 数学 经典考题研析 在经典中学习方法 体积与表面积的最值问题【典例】(2015高考新课标全国卷)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为3
22、6,则球O的表面积为()(A)36 (B)64 (C)144 (D)256 审题指导 关键点 所获信息 AOB=90 可得 SAOB=12R2 三棱锥 O-ABC 体积最大值为36 OA,OB,OC 两两垂直时,三棱锥 O-ABC 体积最大 解题突破:利用AOB=90得 SAOB的面积,当 OC平面 AOB 时,三棱锥体积最大求得半径 R 数学 解析:如图,设点 C 到平面 OAB 的距离为 h,球 O 的半径为 R,因为AOB=90,所以 SOAB=12R2,要使OABCV=13SOABh 最大,则 OA,OB,OC 应两两垂直,且(OABCV)max=13 12R2R=16R3=36,此时 R=6,所以球 O 的表面积为 S 球=4R2=144.故选 C.命题意图:本题主要考查三棱锥的体积公式、球的表面积公式等基础知识,意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力.数学 点击进入课时训练数学
