1、2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（丙）（B卷）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1已知i是虚数单位，若复数z满足（2+3i）z1+i，则|z|（）ABCD2已知集合A2，4，6，7，BxN|log2（x1）3，则BA的元素的个数为（）A2B3C4D53从装有2个红球与3个白球的口袋中任选2个球，那么得到的2个球颜色相同的概率是（）ABCD4在某次数学测试中6名同学的成绩分别为91，100，95，92，x，92，且91x95，x为正整数，若6名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6名同学的数学成绩的平均数是（）（结果保留一位小数）A93.0B92.5C94.5D93.75已知
2、数列an是等差数列，且a3，a7是方程x210x+90的两根，则a5（）A3B4C5D66已知函数f（x）的图象如图所示，则满足解集为x|1x1的不等式可能为（）Af（x）log2（x+1）Bf（x）log2（x+1）Cf（x）log2（x+2）Df（x）log2（x+2）7已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z3x+2y的最小值为（）A3B5C10D208如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，D1D的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）ABCD9已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2）
3、，将函数f（x）的图象向右平移m（m0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，其图象关于y轴对称，则m的值可能为（）ABCD10过双曲线1（m0）的右焦点F作x轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且tanA，a3，ABC的面积为2，则ABC的周长为（）AB10C1+D3+12已知圆x2+y24与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：yx+6上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A，B（0，C，D，1）二
4、、填空题（每小题5分）.13曲线f（x）xex+3x1在点（0，f（0）处的切线的斜截式方程为 14已知（cos，sin），（1，），且，（0，），则 15已知cos（+），sin（），且，（0，），则tan（） 16已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意的x都有f（x+）f（x）成立，f（2）1，f（17），则实数a的取值范围为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）
5、若bn，求数列bn的前n项和Tn18某商场随机抽取在一年中7个月的月平均促销费x（单位：万元）与月平均利润y（单位：万元）作统计，如表：月份i1234567月平均促销费x（万元）10.81.31.80.91.21.4月平均利润y（万元）13.51115.319.211.716.517.8经计算得，（）求y关于x的线性回归方程（结果保留两位小数）；（）求（xi，yi）（i1，2，3，4，5，6，7）的相关系数r，并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？附：，r19在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，A1D1的中点（）求证：EF平面BC1D1；（）若正方体的棱长为2，求三
6、棱锥DBC1D1的体积20已知f（x）lnx+ax，aR（）讨论f（x）的单调性；（）若a1，证明：f（x）121已知抛物线C：y22px（p0）的焦点在直线xy20上（）求抛物线C的方程；（）设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点P（2，4），且PMPN求证：直线MN过定点（10，4）（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是sin（）求
7、曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|OB|的值选修4-5：不等式选讲23（）若a，bR，且满足3，证明：6；（）若a，bR，且满足，证明：6参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知i是虚数单位，若复数z满足（2+3i）z1+i，则|z|（）ABCD解：因为（2+3i）z1+i，所以，故故选：A2已知集合A2，4，6，7，BxN|log2（x1）3，则BA的元素的个数为（）A2B3C4D5解：A2，4，6，7，BxN|0x18xN|1x92，3，4，5，6，7，8，9，BA3，5，8，9，BA的元素个数为：4故
8、选：C3从装有2个红球与3个白球的口袋中任选2个球，那么得到的2个球颜色相同的概率是（）ABCD解：从2个红球与3个白球的口袋中任选2个球的所有选法有10种等可能结果，得到的2个球颜色相同的情况有4种结果，故P故选：B4在某次数学测试中6名同学的成绩分别为91，100，95，92，x，92，且91x95，x为正整数，若6名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这6名同学的数学成绩的平均数是（）（结果保留一位小数）A93.0B92.5C94.5D93.7解：将成绩按从小到大排列为：91，92，92，95，100，又x的值必定在92，93，94之中，若x为92，则众数为92，中位数也是92，符合题意
9、；若x为93，则中位数是92.5，不可能与众数92相等，不符合题意；若为94，则中位数为93，与众数92不相等，不符合题意故x为92，所以这6名同学的数学成绩的平均数是为93.7故选：D5已知数列an是等差数列，且a3，a7是方程x210x+90的两根，则a5（）A3B4C5D6解：因为数列an是等差数列，且a3，a7是方程x210x+90的两根，所以a3+a72a510，则a55故选：C6已知函数f（x）的图象如图所示，则满足解集为x|1x1的不等式可能为（）Af（x）log2（x+1）Bf（x）log2（x+1）Cf（x）log2（x+2）Df（x）log2（x+2）解：当x0时，f（0）
10、0+2a，解得a2，由满足解集为x|1x1，则只要将ylog2x的图象向左移一个单位即可，即不等式为f（x）log2（x+1），故选：B7已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z3x+2y的最小值为（）A3B5C10D20解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），由z3x+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为20故选：D8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，D1D的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为（）ABCD解：取AB的中点O，连结OE，OF，AC，因为E为BC的中点，所以OEAC，又ACA1C1，所以
11、OEA1C1，故FEO即为异面直线EF与A1C1所成的角，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则，所以，在EFO中，由余弦定理可得，所以异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为故选：B9已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2），将函数f（x）的图象向右平移m（m0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，其图象关于y轴对称，则m的值可能为（）ABCD解：函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2），A2，2，f（x）2sin（2x+）结合五点法作图，2+，故f（x）2
12、sin（2x+）将函数f（x）的图象向右平移m（m0）个单位长度后，得到y2sin（2x+2m）的图象再根据所得图象关于y轴对称，故所得函数g（x）为偶函数，故2mk+，kZ，即m，则m的值可能是，此时，k1，故选：C10过双曲线1（m0）的右焦点F作x轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，当ABO的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）AyxByxCyxDyx解：双曲线1（m0）的右焦点F（，0），渐近线的方程为y，令x，可得y，则ABO的面积为Sm+2，当且仅当m1时，上式取得等号所以双曲线的渐近线方程为yx故选：C11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的
13、对边，且tanA，a3，ABC的面积为2，则ABC的周长为（）AB10C1+D3+解：因为tanA，所以cosA，sinA，因为ABC的面积S2，则bc5，由余弦定理得，a29b2+c22bccosA（b+c）210+10，故b+c，ABC的周长为a+b+c3+故选：D12已知圆x2+y24与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：yx+6上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A，B（0，C，D，1）解：圆x2+y24与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：yx+6上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，可知A（2，0），B（2，0），c2，P是直线l
14、上的点，P到A、B两点距离之和的最小值为：B关于直线的对称性B与A的距离，设B（m，n），可得，解得n4，m6，所以B（6，4），|AB|4，所以椭圆的长轴长2a4，所以a的最小值为2，椭圆的离心率的最大值为：椭圆C的离心率e的取值范围为（0，故选：B二、填空题（每小题5分）.13曲线f（x）xex+3x1在点（0，f（0）处的切线的斜截式方程为y4x1解：f（x）xex+3x1的导数为f（x）（x+1）ex+3，可得在点（0，f（0）处的切线的斜率为f（0）4，切点为（0，1），则切线的斜截式方程为y4x1故答案为：y4x114已知（cos，sin），（1，），且，（0，），则解：（cos，
15、sin），（1，），且，cossin0，故tan，结合（0，），则，故答案为：15已知cos（+），sin（），且，（0，），则tan（）解：sin（），sin，又（0，），cos，cos（+），且，（0，），sin（+），coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin+，（0，），sin，tan，tan（）故答案为：16已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意的x都有f（x+）f（x）成立，f（2）1，f（17），则实数a的取值范围为（，）解：根据题意，对任意的x都有f（x+）f（x）成立，则f（x+5）f（x+）f（x），则有f（17）f（2+15）f（2）f（2），又由f（2）
16、1，则f（17）f（2）1，则有1，变形可得：0，解可得：a，即a的取值范围为（，），故答案为：（，）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）若bn，求数列bn的前n项和Tn解：（）正项数列an的前n项和为Sn，且Sn1an，当n1时，2a11，解得，当n2时，Sn11an1，故得：anan1an，整理得2anan1，即（常数），所以数列an是以为首项，为公比的等比数列；所
17、以（首项符合通项），故（）由（）得：bnn+2n，所以18某商场随机抽取在一年中7个月的月平均促销费x（单位：万元）与月平均利润y（单位：万元）作统计，如表：月份i1234567月平均促销费x（万元）10.81.31.80.91.21.4月平均利润y（万元）13.51115.319.211.716.517.8经计算得，（）求y关于x的线性回归方程（结果保留两位小数）；（）求（xi，yi）（i1，2，3，4，5，6，7）的相关系数r，并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？附：，r解：（）由题意可知，（1+0.8+1.3+1.8+0.9+1.2+1.4）1.2，由公式可得，故158.571
18、.24.72，所以线性回归方程为8.57x+4.72；（）相关系数r0.75，故该商场的月利润额与促销费具有很强的相关性19在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，A1D1的中点（）求证：EF平面BC1D1；（）若正方体的棱长为2，求三棱锥DBC1D1的体积【解答】（）证明：取BC1的中点O，连结D1O，EO，因为E，O分别为BB1，BC1的中点，所以OEB1C1，且OEB1C1，又F为A1D1的中点，故D1FB1C1，且D1FB1C1，故OED1F且OED1F，所以四边形D1FEO为平行四边形，故EFD1O，又EF平面BC1D1，D1O平面BC1D1，所以EF平面BC1D1；
19、（）解：正方体的棱长为2，所以，在正方体中，BC平面CDD1C1，故BC为三棱锥BDD1C1的高，所以，由等体积法可得，所以三棱锥DBC1D1的体积为20已知f（x）lnx+ax，aR（）讨论f（x）的单调性；（）若a1，证明：f（x）1解：（）f（x）的定义域为（0，+），由已知，f（x）a+，当a0时，f（x）0恒成立，此时f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0恒，得x，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，综上所述，当a0时，f（x）的单调增区间为（0，+），无单调递减区间；当a0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）（）由（）a1
20、时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+），a1，a1，ln（a）0，ln（a）0，f（x）的最大值是f（）ln（）+a（）ln（a）11，故若a1，则f（x）121已知抛物线C：y22px（p0）的焦点在直线xy20上（）求抛物线C的方程；（）设P，M，N为抛物线C上的不同三点，点P（2，4），且PMPN求证：直线MN过定点（10，4）解：（）抛物线C的焦点为（，0），因为抛物线C：y22px（p0）的焦点在直线xy20上，所以020，解得p4，所以抛物线的方程为y28x（）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为xmy+n，联立，得y28my8n0，所
21、以y1y28n，y1+y28m，所以x1x2（my1+n）（my2+n）m2y1y2+mn（y1+y2）+n2m2（8n）+mn8m+n2n2，x1+x2（my1+n）+（my2+n）m（y1+y2）+2nm8m+2n8m2+2n，因为PMPN，所以0，所以（x12，y14）（x22，y24）0，所以（x12）（x22）（y14）（y24）0，所以x1x22（x1+x2）+4+y1y24（y1+y2）+160，所以n22（8m2+2n）+4+（8n）48m+160，解得n4m+2（舍去）或n4m+10，所以直线MN为：xmy+4m+10m（y+4）+10，所以直线MN过点（10，4）（二）选考
22、题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是sin（）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|OB|的值解：（）曲线C1的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y1）21，整理得x2+y22y，根据，转换为极坐标方程为2sin直线C2的极坐标方程是sin，根据，转换为直角坐标方程为y（）设直线l的极坐标方程为，与曲线C1的交点为A，则，整理得12sin，与曲线C2的交点为B，则，整理得，所以选修4-5：不等式选讲23（）若a，bR，且满足3，证明：6；（）若a，bR，且满足，证明：6【解答】证明：（）由3得：a3，+，即6成立，当且仅当ab2时，等号成立（）由柯西不等式得（1+）（），即，当且仅当abc时，等号成立
