1、2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中联合考试高二理科数学试题考试时间：120 分钟满分：150 分一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 31ii（）A12iB12iC2iD2i2“3m”是“椭圆2221(0)25xymm的左焦点为1(4,0)F”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知原命题“若1a ，则120aa”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（）A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题与逆命题均为假命题C.原命题为 真，逆命题为假D.原命题为假，逆命题为真4椭圆14222ayx与双曲线1222 yax有相同的焦点，则 a 的值为（）A3B
2、2C1D25命题 p：00 x，0443212020 xx，的否定是（）A.00 x，2001232440 xxB.0 x，21232440 xxC.0 x，21232440 xxD.00 x，2001232440 xx6若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，p 的逆命题为 t，则 s 是 t 的（）A否命题B原命题C逆否命题D逆命题7已知函数)ln2020()(xxxf，若2021)(0 xf，则0 x 等于（）Aln 2B1C eD2e8定积分10(2)xxedx的值为()A2e B1e C1e D e9指数函数都是增函数，(大前提)；函数 yxe 1是指数函数，(小前提)
3、；所以函数 yxe 1是增函数(结论)。上述推理错误的原因是（）A小前提不正确B大前提不正确C推理形式不正确D大、小前提都不正确10已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点111222333,P x yP xyP x y是抛物线 C上三个不同的点，若2132 FPFPFP，则有（）A2132xxxB2132xxxC2132xxxD2312xxx11用数学归纳法证明不等式 1n1 1n2 1n3 12n 1324(n2)的过程中，由 nk 递推到nk1 时，不等式的左边()A增加了一项12k1B增加了两项12k1，12k1C增加了一项12k1，又减少了一项 1k1D增加了两项12k1
4、，12k1，又减少了一项 1k112定义在 R 上的函数()f x 满足()()fxfx则（）A(2)(3)effB(2)(3)effC(2)(3)fefD(2)(3)fef二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13已知 A（1，2，6），B（1，2，6），O 为坐标原点，则向量OA 与OB 的夹角为14已知点 P(k，1)，椭圆2294xy=1，点 P 在椭圆外，则实数 k 的取值范围为15甲、乙、丙三人参加知识竞赛赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次
5、竞赛第一名的是16已知函数 f(x)12x24x3ln x 在t，t1上不单调，则 t 的取值范围是三、解答题（共 70 分）17（10 分）设复数 z(1i)23(1i)2i，若 z2axb1i，求 z 及实数 a，b 的值18.（12 分）已知顶点在坐标原点 O，焦点在 x 轴上的抛物线 C 过点362，（1）求 C 的标准方程；（2）若直线4yx与 C 交于 A，B 两点，证明：OAOB19（12 分）设命题 p:不等式 21xxa的解集是133xx；命题 q:不等式2441xax 的解集是，若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围.20（12 分）在四棱锥 PABCD中，/
6、ADBC，1ADAB，2BC，2BD，E 为 PB 的中点（1）证明：/AE平面 PCD；（2）若 PA 平面 ABCD，且3PA，求CP 与平面 PBD 所成角的正弦值21（12 分）已知函数 22lnf xxmxx.（1）讨论 fx 在定义域内的极值点的个数；（2）若对0 x，2230 xfxex恒成立，求实数 m 的取值范围；22（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率22e，左、右交点分别为12FF，抛物线24 2yx的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知圆222:3O xy的切线l 与椭圆相交于 AB，两点，那么以 AB 为直径的圆
7、是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中联合考试高二理科数学试题参考答案1D【解析】由题意3134221112iiiiiiii，故选：D.2A【解析】椭圆2221(0)25xymm的左焦点为1(4,0)F，22516m，即3m “3m”是“椭圆2221(0)25xymm的左焦点为1(4,0)F”的充分不必要条件故选：A3C【解析】由于1a 时，120aa，所以原命题为真命题.逆命题为：若120aa，则1a ，是假命题，因为 a 可能为 2.故选：C4C【解析】因为椭圆14222ayx与双曲线1222 yax有相同的焦点，所以0a，且椭
8、圆的焦点应该在 x 轴上，所以242,2,1.aaaa 或因为0a，所以1.a 故选 C5B【解析】命题0:0px，2001232440 xx是一个特称命题，则其否定是全称命题，即0 x，21232440 xx故选：B.6A【解析】命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆否命题，又 p 的逆命题为 t，,s t 互为否命题故选：A7B【解析】xxxfln20211ln2020)(，2021)(0 xf，2021ln20210 x，解得10 x.故选 B8D【解析】121220100(2)()|()|()|xxxxxxex dxexexex=(1)1ee.故选 D
9、.9B【解析】大前提错误。因为指数函数 yax(a0，且 a1)在 a1 时是增函数，而在 0a1，解得 k 3 32，故实数 k 取值范围为3 33 322-，-，.故答案为：3 33 322-，-，15丙【解析】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意综上所述，这次竞赛中第一名的是丙答案：丙16（0，1）U（2，3）【解析】由题意知 f(x)x43xx24x3xx1x3x，由 f(x)0 得函数 f(x)的两个极值点为 1，3
10、，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数 f(x)在区间t，t1上就不单调，由 t1t1 或者 t3t1，得 0t1 或者 2t3.故答案为：（0，1）U（2，3）三、解答题17【解】z(1i)23(1i)2i2i3(1i)2i3i2i(3i)(2i)(2i)(2i)1i，3 分 z 2112）（；5 分将 z1i 代入 z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，即(ab)(a2)i1i，所以1)2(1aba，解得43ba，3a，4b.10 分18.【解析】（1）设所求抛物线方程为22ypx,因为抛物线C 过点 362，所以63p，解得2p，故所求抛物线方程为xy42 5 分（
11、2）联立方程组442xyxy，消去 x，得24160yy 7 分设 A（1x，1y），B（2x，2y），由方程得：1621yy，9 分又22212144xyxy，则1616222121yyxx，所以02121yyxxOBOA，11 分所以OAOB 12 分19【解】由 21xxa得113axa ，由题意得1123313aaa .命题 p:2a.4 分由2441xax 的解集是，得24410axx 无解，即对xR，24410axx 恒成立，20(4)4410aa ，得1a.命题 q:1a.7 分由“p 或 q”为真命题，得 p、q 中至少有一个真命题.当 p、q 均为假命题，则211aa aa，
12、而aaCR11aa.10 分实数 a 的值取值范围是(1,).12 分20【解析】（1）证明：设 PC 的中点为 F，如图，连接 EF，DF，因为 E 为 PB 的中点，所以/EFBC 且12EFBC，2 分因为/ADBC，且12ADBC，所以/EFAD，且 EFAD，所以四边形 AEFD 为平行四边形，故/AEDF 因为 DF 平面,PCD AE 平面 PCD，所以/AE平面 PCD；5 分（2）因为1ABAD，2BC，2BD，且/ADBC，所以 ABAD 7 分以 A 为坐标原点，分别以,AB AD AP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则(
13、1,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(1,2,0)BDPC，(1,0,3)BP ，(1,1,0)B D，(1,2,3)PC，设平面 PBD 的法向量为(,)nx y z，则0,30,Bn BDxynxzP 10 分令3x，得(3,3,1)n，设CP 与平面 PBD 所成角为，则4214n PCsinPCn，即CP 与平面 PBD 所成角的正弦值为4214 12 分21【解】（1）由已知得 22222,0,xmxfxxmxxx 1 分设 222xxmx，令 0 x，即方程2220 xmx，216m，当 44m 时，2160m，则 0fx，此时 fx 没有极值点；当4m 时，0，设方程2
14、220 xmx两根为1x，2x，不妨设12xx,则1202mxx，121xx，则120 xx，当10 xx或2xx时，0fx；当12xxx时，0)(xf，此时1x，2x 是函数 fx 的两个极值点，分当4m 时，0，设方程2220 xmx两根为3x，4x，则3402mxx，341xx，所以30 x，40 x，所以当0,x 时，0fx，故 fx 没有极值点，6 分综上，当4m 时，函数 fx 有两个极值点；当4m 时，函数 fx 没有极值点.7 分（2）解:由题,222232ln230 xxf xexxmxxex在0,上恒成立，则22ln220 xmxxex在0,上恒成立，即2222lnxxex
15、mx在0,上恒成立，设 2222lnxxexg xx，则 222211ln211lnxxxxexxxexgxxx ，因为10 xxe，当 x（0，1）时，0gx，则 g x 单调递减；当1,x，0gx，则 g x 单调递增；所以 min122g xge,所以22me.12 分22【解析】（1）因为椭圆 C 的离心率22e，所以22ac，即ca2，因为抛物线24 2yx的焦点 F（2，0）恰好是该椭圆的一个顶点，所以2a，所以1c，12 b，所以椭圆 C 的方程为1222 yx 3 分（2）当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆 M 相切，故其中一条切线方程为36x，由123622yxx，可
16、得 A（36，36），B（36，36），则以 AB 为直径的圆的方程为32)36(22yx 5 分当直线l 的斜率为零时，因为直线l 与圆 M 相切，故其中一条切线方程为36y，由123622yxy，可得 A（36，36），B（36，36），则以 AB 为直径的圆的方程为32)36(22 yx显然以上两圆都经过定点（0，0）8 分当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为mkxy，由1222yxmkxy，消去 y 并整理得0224)12(222mkmxxk，设 A（1x，1y），B（2x，2y），则1x 2x 1242 kkm，1x2x 122222km，所以1y2y 122)()(22222112212kkmmxxkmxxkmkxmkx所以122232222121kkmyyxxOBOA因为直线l 和圆 M 相切，所以圆心到直线l 的距离36122kmd，整理得)1(3222km将代入，得0OBOA，显然以 AB 为直径的圆经过定点 O（0，0）。11 分综上可知，以 AB 为直径的圆经过定点 O（0，0）12 分
