1、4数列在日常经济生活中的应用学 习 目 标核 心 素 养1掌握单利、复利的概念(重点)2掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用(重点)3掌握数列在日常经济生活中的应用(难点)1通过数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养2通过数列在经济生活中的应用，提升数学运算素养数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32P34例3以上部分，完成下列问题：(1)三种常见的应用模型零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存例如，储户某日存入一笔存期为1年的存
2、款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和分期付款：分期付款是购物的一种付款方式即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清(2)常用公式复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和SP(1r)n产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值yN(1r)x单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为SP(1nr)思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？提示单利和复利两种方法(2)建立数学模型的关键是什么？提示正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关
3、系1现存入银行10 000元钱，年利率是360%，那么按照复利，第5年末的本利和是()A10 00010363 B10 00010364C10 00010365 D10 00010366C由复利公式得S10000(1360%)510 000103652某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是()Aa(1q%)3 Ba(1q%)3C DC设现在的成本为x元，则有x(1q%)3ax故选C3过圆x2y210x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1 ，最长弦长为末项ak，若公差d，则k的取值不可能是()A4 B5C6 D7Ax2y210x化简得(x5)2
4、y225过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，则由题意d，5k74阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为225%，那么10年后共得本息和为_万元(精确到0001)624610年后的本息：a105(10022 5)106246(万元)等差数列模型【例1】某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分2
5、0次付款，则每次付款的数额顺次构成数列an则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%595，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%585，所以an501 00050(n1)1%60(n1)(1n20，nN)所以an是以60为首项，为公差的等差数列所以a10609555所以第10个月应付555(万元)a206019505所以S20(a1a20)2010(60505)1 105所以实际共付1 1051501 255(万元)1按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息本金利率存期2按单利分期付款问题的
6、三个关键问题(1)规定多少时间内付清全部款额(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式1某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A5(12312)元B5(12311)元C1 00015(5)2(5)11元D1 00015(5)2(5)12元A存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(12312)元，故选A等比数列模型【例2】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银
7、行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？解设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列an(1n10)则a1a(1p)10，a2a(1p)9，a10a(1p)，故数列an(1n10)是以a1a(1p)10为首项，q为公比的等比数列所以2028年初这个家庭应取出的钱数为S10(1p)11(1p)(元)1复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息本金(1利率)n2解决等比数列应用题的关键(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同(3)分析数列的规律，一般需
8、先写出数列的一些项加以考查2某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN)等于_6每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12由2n12100，得2n1102由于2664,27128，则n17，即n6分期付款问题探究问题1复利与单利的区别是什么？提示(1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列2小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单
9、利计算，5年后共获得本息和为多少元？若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？提示按单利计算：5年后共获(152%)11万元；按复利计算：5年后共获(12%)51104万元3在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？提示在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，其关键是弄清楚是什么数列；分清首项、项数；是求和还是求项等问题【例3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元两种方
10、案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，11102594,131013786)思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决解方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前10项和为S101(130%)(130%)2(130%)9，所以S104262(万元)又贷款本息总数为10(110%)101011102594(万元)，甲方案净获利42622594167(万元)乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T1013250(万元)，而贷款本息总
11、数为111(110%)(110%)9111753(万元)，乙方案净获利32501753150(万元)比较两方案可得甲方案获利较多1(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润15万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算(参考数据：1259745,1251093,1029120,10210122)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？解方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数
12、列，且a14，公比q125%125，n10，收入S丙1328(万元)净获利W丙132840(12%)10132848884(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列bn，它是等差数列，且b13，公差为15，n10，收入S丁1031091530675975(万元)净获利：W丁97520(12%)10975244731(万元)所以方案丙净获利更多2(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值(参考数据：131439374,131551186,11143798,11154178)解设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元
13、，由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前n项和为Sn1(130%)(130%)2(130%)n1(13n1)，又贷款本息总数为10(110%)n1011n，则甲方案的净获利为(13n1)1011n，由题意知(13n1)1011n100，经验证，当n14时，(13141)101114(393741)103798127913379889933100，当n15时，(13151)101115(511861)1041781672874178125507100，所以n的最小值为151等差、等比数列的应用题常见问题产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法
14、是建立数列模型，应用数列知识解决问题2将实际问题转化为数列问题时应注意(1)分清是等差数列还是等比数列(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式1等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题2银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为SP(1nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为SP(1r)n(其中P为本金，r为利率，n为期数)3等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在银行取款
15、时，取到的本息是指存款得到的利息()(2)定期自动转存模型是等差数列()(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计还款本利合计2某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将接近()A60万吨 B61万吨C63万吨 D64万吨C设年增长率为x，则2009年为：40(1x)
16、1050，则(1x)102019年为：40(1x)2040(1x)1024062563(万吨)3某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5，每月复利一次，则a，b满足()Ab BbCb DbD因为b(1100510052100511)a(10005)12，所以12ba(10005)12，所以ba，即b41个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？解设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，xn，由已知x2x1x3x2x4x3xnxn1，数列xn是等差数列，每个水龙头1 min放水，所以1，即Sn24n，即24n，所以(x1xn)24，x1xn48又因为xn5x1，所以6x148，x18，xn5x140故最后关闭的水龙头放水40 min