1、4反证法课后训练案巩固提升一、A组1.用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都小于0B.假设a,b,c都大于0C.假设a,b,c都不大于0D.假设a,b,c中至多有一个大于0解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”,故“a,b,c中至少有一个大于0”的反面是“a,b,c都不大于0”.答案:C2.“已知:在ABC中,AB=AC,求证:B180,这与三角形内角和定理相矛盾;(2)所以BBAD,ADCABD,ABD与ACD不可能相似,与已知不符,只有当ADB=ADC=BAC=2时,才符合题意.答案:B5.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为
2、0(a,b为实数)”,其“假设”为.解析:“a,b全为0”即“a=0,且b=0”,因此它的反面应为“a0或b0”,即a,b不全为0.答案:a,b不全为06.有下列叙述:“ab”的反面是“ay或x0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法证明a0,b0,c0时的“假设”为()A.a0,b0,c0,c0C.a,b,c不全是正数D.abc0,b0,c0”即“a,b,c都是正数”,因此其否定应为“a,b,c不全是正数”.答案:C2.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内一点,APBAPC,求证:BAPCAP.用反证法证明时的“假设”为.解析:反证法对结论的否定是全面否定,BAPCAP.答案:BAP=C
3、AP或BAPCAP3.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和,得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此,假设不成立.故由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.4.导学号18334037用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.解:已知:在ABC中,BAC90,D是BC的中点,求证:AD12BC,因为BD=DC=12BC,所以在ABD中,ADBD,从而BBAD;同理CCAD.所以B+CBAD+CAD,即B+CBAC.因为B+C=180-BAC,所以180-BACBAC,则BAC90,与题设矛盾.由(1)(2)知AD12BC.
