1、10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法3两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_，用其中_都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步
2、”问题，各个步骤中的方法_，只有_才算做完这件事4两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析是需要分类还是需要分步(1)分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“_”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要_，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数自查自纠1m1m2mn2m1m2mn3相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成4(1)不重不漏(2)步骤完整相互独立 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有()A53种 B35种 C3种 D15种解：第1封
3、信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法所以，5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种故选B. ()满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D10解：当a0时，2xb0x，有序数对(0，b)有4个；当a0时，44ab0ab1，有序数对(1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个综上，共有443213个有序数对，故选B. ()高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案
4、有()A16种 B18种 C37种 D48种解：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337(种)故选C. 某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法_种解：先分类再分步，共有不同的选法：677868146种故填146. ()某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解法一：根据题意，每一位同学都要给除他之外的39名同学写毕业留言，共有40391560条解法二：由题意得所求为A156
5、0，即全班共写了1560条毕业留言故填1560.类型一分类与分步的区别与联系甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情故用分类计数原理，共有54312(种)不同的借法(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情故用分步计
6、数原理，共有54360(种)不同的借法(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5420(种)借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5315(种)借法；借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4312(种)借法而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20151247(种)不同的借法【点拨】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相
7、互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有3、6、8种选法，总选法数为36817(种)(2)分两步：先选
8、教师，共3种选法，再选学生，共6814种选法由分步乘法计数原理知总选法数为31442(种)(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为3、6、8种由分步乘法计数原理知选法数为368144(种)类型二两个原理的综合应用(1)现有来自高一年级四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组现推选两人作中心发言，这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选
9、1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以共有不同的选法N787971089810910431(种)【点拨】对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个原理可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类本题可先根据两个班级的不同分类，再分步从两个班级中各选1人(2)有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？解：如图，分别用A，B，C，D记这四个部分，A与C，B与D不相邻，因此，它们可
10、以同色，也可以不同色首先分两类，即A，C涂相同颜色和A，C涂不同颜色：类型一，分三步：第一步，给A，C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4种涂法；第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法由分步计数原理知，共有54480种不同的涂法类型二，分四步：第一步，给A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法；第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法由分步计数原理知，共有5433180种不同的涂法综上，由分类计数原理可知，共有80180260种不同的涂法【点拨】本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：A有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相同，则D有4种涂法
11、，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有54(433)260种涂法涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题此类问题往往需要多次分类、分步(也有用穷举法解决的题目)，常用分类依据有：所涂颜色种类(如本题，可依用4种、3种、2种色来分类)；可涂同色的区域(或点、线等)是否涂同色(1)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数解：完成这件事有3类方法：第一类：用0作个位的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上
12、已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有44348个第二类：用2作个位的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步计数原理，这类数的个数有34336个第三类：用4作个位的比2000大的四位偶数，其步骤同第二类，这类数的个数也有36个综合以上所述，由分类计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四
13、位偶数有483636120个(2)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？(用数字作答)解：依同颜色的花分类求解(因为两两相邻，因此不妨先给“涂”色，再讨论的变化情况)()与同色，则也同色或也同色，有4322148种；()与同色，考虑对称性，同()也有48种；()与且与同色，有432124种所以，共有N484824120(种)1运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性
14、，亦即类与类之间是独立的、互斥的2运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具有连续性3在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏4对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，掌握这点对学习本节很重要，它可使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律5解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分
15、为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得1()某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有()A256种 B81种 C16种 D12种解：进商场的方案有4种，则出商场的方案有3种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4312种故选D.2
16、现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A56 B65C. D65432解：因为每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有55555556种选法故选A.3点Q(x，y)中x1，2，y2，3，4，则不在直线yx上的点Q(x，y)的个数是()A1 B4 C5 D6解：点Q共有236个，在直线yx上的只有(2，2)，因此不在直线yx上的点Q的个数是615.故选C.4()从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6解：三位奇数可分成两种情况：(1)奇偶奇；(2)偶奇
17、奇对于(1)，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共32212个；对于(2)，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共3216个，即共有12618(个)故选B.5()如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与一个正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求每面染一色，且相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有()A6种 B12种 C18种 D24种解：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面，当棱锥颜色确定后，棱柱对应有2种情形，即共有321212种不同的染色方案故选B.6()如果一
18、个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为“凸数”(如120，343，275等)，那么所有“凸数”的个数为()A240 B204 C729 D920解：若a22，则“凸数”为120与121，共122(个)；若a23，则“凸数”有236(个)；若a24，则“凸数”有3412(个)；若a29，则“凸数”有8972(个)所有“凸数”有26122030425672240(个)故选A.7从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_种解：共有4543240(种)
19、故填240.8()回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等显然2位回文数有9个：11，22，33，99；3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个解：(1)4位回文数等价于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计91090(种)填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以利用填方格法计算结合计数原理知，有910n种填法故填90；910n.9已知集合M3，2，1，0，1，2，P(a，b)表示平面上的点(a，b
20、M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线yx上的点？解：(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步计数原理，得到所求点的个数是6636个(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是326个(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个结合(1)可
21、得不在直线yx上的点共有36630个10从3，2，1，0，1，2，3中任取3个不同的数作为抛物线方程yax2bxc(a0)的系数设抛物线过原点，且顶点在第一象限这样的抛物线共有多少条？解：抛物线yax2bxc过原点，且顶点(，)在第一象限，a，b，c应满足 即分三步，a可以取3，2，1；b可以取1，2，3；c取0.所以满足条件的抛物线的条数为N3319.11给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法(1)当边3与边
22、1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总数为3212112(种)(2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法则此时共有染法321(1211)18(种)综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种解法二：通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次染五条边总体分两步第一步选一色染1次有CC种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2CC30种染法 ()用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑
23、球由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)解：分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，5个，则有(1aa2a3a4a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1b5)种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球中任取0个，1个，5个，有(1CcCc2Cc3Cc4Cc5)(1c)5种不同的取法，所以所求为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5，故选A.