1、第二节 直线的方程考纲点击 1.掌握确定直线位置的几何要素.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.热点提示 1.直线的方程是必考内容，是基础知识之一.2.在高考中多与其他曲线结合考查，三种题型均可出现，属于中低档题.直线方程的几种形式名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式(x1，y1)为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线 斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 两点式 (x1x2且y1y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 一般
2、式(A2B20)A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线 yy1k(xx1)ykxb AxByC0不包括垂直于x轴的直线 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 1下列四个命题中，假命题是()A经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示 B经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示 C与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 1表示 D经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb【解析】A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直线，故也正确；D不
3、能表示斜率不存在的直线，不正确【答案】D 2如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由题意知ABC0.直线方程变为y x ，AC0，BC0，AB0，其斜率k 0，在y轴上的截距b 0.直线过第一、二、四象限【答案】C 3如果直线ax2y20与直线3xy20平行，则a()A3 B6 C D.【解析】由题意得 3，a6.【答案】B 4过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为_【解析】由题意可设直线方程为1，解得ab3或a4，b2.【答案】xy30或x2y40 5在直角三角形ABC中，直角顶点为A(4,1)，点C
4、(1,2)，斜边上的高所在直线的方程为yx3，则点B的坐标为_【解析】设B(x，y)，由题意可知kAC ，斜边上的高所在直线的斜率为 ，则kBC2，kAB5，解得 .【答案】求直线的方程求过点P(2，1)，在x轴和y轴上的截距分别为a、b，且满足a3b的直线方程【自主探究】当a3b0时，设所求直线方程为1，即1.又直线过点P(2，1)，1，解得b .当a3b0时，则所求直线过原点，可设方程为ykx(k0)又直线过点P(2，1)，则12k，k .所求直线方程为y x.综上所述，所求直线方程为x3y10或y x.【方法点评】求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写
5、出直线方程要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论 1ABC的三个顶点为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线DE的方程【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得直线BC的方程为 ，即x2y40.(2)设线段BC中点D的坐标为(x，y)，则 x 0，y 2.BC边上的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得中线AD所在直线方程为 ，即2x3y60.(3)BC边所在直线的斜率
6、k1 ，则边BC的垂直平分线DE的斜率k22，由斜截式得直线DE的方程为y2x2.化成一般式即2xy20.两直线的平行与垂直已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值【思路点拨】可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按l2的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论【自主探究】(1)方法一：由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行 方法二：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0
7、时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为 综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)方法一：由A1A2B1B20得a2(a1)0a .方法二：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立【方法点评】已知直线l1：A1xB1yC10 l2：A2xB2yC20，则(1)l1l2A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或记为：(A2、B2、C2不为0)(2)l1l2A1A2B1B20.(3)l1与l2重合A1B2A2B10且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)或记为 (A2、B2、C2不为0)(4
8、)l1与l2相交A1B2A2B10或记为 (A2、B2不为0)2已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a、b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解析】(1)由已知可得l2的斜率k必存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过(3，1)，3ab40，即b3a4(不合题意)此种情况不存在，即k20.若k20，即k1，k2都存在，k21a，k1 ，l1l2，k1k21，即 (1a)1 又l1过点(3，1)，3ab40 由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存
9、在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即 1a 又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2，l1、l2在y轴上的截距互为相反数 直线方程的综合应用如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x，y轴正半轴于A、B两点(1)当AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|PB|取最小值时，求直线l的方程【思路点拨】求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：(1)点斜式：设l的方程为y1k(x2)，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；(2)截距式：设l的方程为 1，将
10、点(2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件(3)根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决【自主探究】(1)方法一：设l的方程为 y1k(x2)(k0)，则 A(21k，0)，B(0,12k)，SAOB(21k)(12k)2 212(4k1k)2122(4k)(1k)4，当且仅当4k1k，即 k12时取等号 k0，k12，故所求直线方程为 y112(x2)，即 x2y40.方法二：设所求的直线方程为xayb1(a0，b0)，由已知得2a1b1，于是2a1b2a1b2214.当且仅当2a1b12，即 a4，b2 时，2a1b取最大值14，此时 S
11、AOB12ab取最小值 4.故所求的直线 l 的方程为x4y21，即 x2y40.方法三：设所求直线方程为xayb1(a0，b0)，由已知得2a1b1，b aa2(a2)，SAOB12aba22(a2)(a2)24(a2)42(a2)12(a2)2a22224，当12(a2)2a2，即 a4 时取等号，此时 b2.所求直线 l 的方程为x4y21，即 x2y40.(2)方法一：设直线 l：y1k(x2)(k0)，分别令 y0，x0得 A(21k，0)，B(0,12k)由|PA|PB|(44k2)(11k2)84(k21k2)4.当且仅当 k21k2，即 k1 时，|PA|PB|取最小值 又 k
12、0，k1，这时 l 的方程是 xy30.方法二：设BAO(0 2)，过 P 作 PEx 轴于 E，作 PFy 轴于 F.|PE|AP|sin ，|FP|BP|cos .又|PE|1，|FP|2，|AP|1sin ，|BP|2cos .|AP|BP|2sin cos 4sin 2.(0，2)，0sin 2 1，当 sin 2 1，即 4 时，原式取最小值 k1.l的方程是xy30.【方法点评】利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式 另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形
13、面积或周长，常选用截距式或点斜式 3已知直线l过点(3,2)且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时l的方程【解析】设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，直线 l 过(3,2)，3a2b1，b 2aa3.a0，b0，a30.aba 2aa3a2 6a3 5(a3)6a352(a3)6a3 52 6，当且仅当 a3 6a3，即 a3 6时，ab 取得最小值 52 6，此时 b2 6，直线 l 的方程为x3 6y2 6 1，即(2 6)x(3 6)y125 60.1(2008 年全国高考)若直线xayb1 通过点 M(cos ，sin )，则(
14、)Aa2b21 Ba2b21 C.1a21b21 D.1a21b21【解析】动点 M 在以原点为圆心的单位圆上，所以直线xayb1 过点 M，只需保证原点到直线的距离|ab|a2b21，即1a21b21.【答案】D 2(2008 年四川高考)将直线 y3x 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为()Ay13x13 By13x1 Cy3x3 Dy3x1【解析】方法一：如图，直线l的方程为y=3x，绕原点逆时针旋转90后得l1，则直线l1的斜率 直线l1过(0,0)，向右平移1个单位后则过点(1,0)，l2的方程为 方法二：由方法一得直线l1的方程为y=x，把它看作关于x的
15、一次函数，向右平移1个单位后得直线l2：，即 【答案】A 3(2008年江苏高考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)；点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F.某同学已正确求得直线OE的方程：，请你完成直线OF的方程；(_)x y0.【解析】画草图，由对称性可猜想填1c1b.由截距式可得直线 AB：xbya1，直线 CP：xcyp1，两式相减得1c1b x1p1a y0，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故
16、为所求直线 OF 的方程【答案】1c1b 1求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程的方法；(2)待定系数法：设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程的方法 2截距与距离的区别 截距可为一切实数，纵截距是指直线与y轴交点的纵坐标，横截距是直线与x轴交点的横坐标；而距离却是一个非负数 3通过对直线方程的五种形式的学习，感受平面几何中“两点定线”定理的意义，确定一条直线至少需两个独立条件 4直线的实际应用问题 对于实际问题中的平面几何知识运用不便时，注意引入解析的思想，建立适当的平面直角坐标系用坐标表示点，用方程表示直线，从而将几何问题代数化，通过代数的方法使问题得到解决 课时作业点击进入链接
