1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十五直线与椭圆的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016莱芜模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=()A.4B.8C.4或8D.以上都不对【解析】选C.若椭圆的焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8,综上可知:a=4或8.2.椭圆+=1(ab0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c,则椭圆的离心率为()A.B.C
2、.-1D.-1【解析】选D.依题意有P(c,2c),点P在椭圆上,所以有+=1,整理得b2c2+4a2c2=a2b2,又因为b2=a2-c2,代入得c4-6a2c2+a4=0,即e4-6e2+1=0,解得e2=3-2(3+2舍去),从而e=-1.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为mx2+ny2=1(0mb0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为.【解析】如图,因为四边形PA
3、OB为正方形,且PA,PB为圆O的切线,所以OAP是等腰直角三角形,故a=b.所以e=.答案:8.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值是.【解析】因为=0,所以.所以|2=|2-|2=|2-1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|min=2,所以|min=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知在ABC中,点A,B的坐标分别为(-,0),B(,0),点C在x轴上方.(1)若点C坐标为(,1),求以A,B为焦点且经过点C的椭圆的方程.(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M,N两点,若点Q(1,0)恰在以线段M
4、N为直径的圆上,求实数m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线l的方程为y=-(x-m),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去y得3x2-4mx+2m2-4=0.所以若Q恰在以MN为直径的圆上,则=-1,即m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得m=.【加固训练】已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值.【
5、解析】(1)由题意,得解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消去y得,3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,所以-2mb0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(
6、1)知a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0,又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx,由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以,直线l的斜率为4+或4-.(20分钟40分)1.(5分
7、)(2016济宁模拟)已知直线x=t与椭圆+=1交于P,Q两点.若点F为该椭圆的左焦点,则使取得最小值时,t的值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.易知椭圆的左焦点F(-4,0).根据对称性可设P(t,y0),Q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以=(t+4,y0)(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当t=-时,取得最小值.【加固训练】(2016合肥模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为.【解析
8、】设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2x02,-y0.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,取得最大值4.答案:42.(5分)直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,则ABC面积的最大值为.【解析】设与l平行的直线方程为x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为C时,ABC的面积最大,将y=x+a代入+y2=1中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由=16a2-24(
9、a2-1)=0得,a=,两平行直线x-y=0与x-y+=0的距离d=,将y=x代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|AB|=,所以SABC=|AB|d=.答案:3.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F1(1,0),离心率为e.设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上.设直线AB的斜率为k,若0b,所以a2=b2+c2.设A(x,y),由得因为0k,所以01,所以1a21+,即1b0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原
10、点O,求点O到直线l的距离.【解析】(1)因为e=,所以=,右焦点(c,0)到直线+=1的距离d=,则=,且b2+c2=a2,得c=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程是+=1.(2)若直线l的斜率不存在,设方程为x=n,由得y2=3-,又原点O到l的距离为|n|,所以n2=3-n2,解得n2=,|n|=.若直线l的斜率存在.设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),那么则(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=-,x1x2=,又因为直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点O,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)
11、(kx2+m)=0,所以(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,+m2=0,化简得=,即=,所以点O到直线l的距离为.【加固训练】如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程.(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.【解题提示】(1)由AB1B2是面积为4的直角三角形,即可得出b与c的两个方程,进而得出椭圆的离心率和标准方程.(2)可先设出直线l的方程,再将直线方程与椭圆方程联立,利用PB2QB2的条件,
12、结合斜率的知识,即可得出直线l的方程.【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=.结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2.由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭
13、圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-,由PB2QB2,得=0,即16m2-64=0,解得m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.5.(13分)(2016石家庄模拟)给定椭圆C:+=1(ab0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离
14、心率为,且经过点(0,1).(1)请求出椭圆C的标准方程. (2)若过点P(0,m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.【解析】(1)记椭圆C的半焦距为c,由题意,得b=1,=,c2=a2-b2,解得a=2,b=1,故椭圆C的标准方程为:+y2=1.(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.显然直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0.因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,故方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.从而=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0.化简,得m2=1+4k2.因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,所以圆心到直线l的距离d=.即=.由,解得k2=2,m2=9.因为m0,所以m=3.关闭Word文档返回原板块
