1、2020 届高三模拟考试理科数学参考答案一、选择题123456789101112CABDDCDDBABC二、填空题13.154；14.53；15.1kkaa；16.34；2 2 1 或 2 2 1三、解答题17.解析：（）由正弦定理可得：2223cabab而由余弦定理得：222+3cos22abcCab在 ABC中，(0,)C=6C6 分（）若=2B ，由()可得：=,36AC取4AC，则2 3,2,1BCABADBD在 ACD中：由余弦定理可得：22=2cos=133CDADACAD AC22216 13 17 13cos2262 413ACCDADACDAC CD，239sin1 cos2
2、6ACDACDsin3tancos7ACDACDACD12 分18.解析：（）由题555221113,4.7,85.2,10,22.78iiiiiiityt yttyy则1221114.714.714.70.970.7515.095227.82 56.95niiinniiiit yntyrttyy故 y 与t 的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合。4分（）顾客选择参加两次抽奖,设他获得 100 元现金奖励为事件 A.122 312()5 525P AC6分设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,则23,5XB所以2()31.25E Xnp 10 分由于顾
3、客每中一次可获得 100 元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2 100120由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值 120 小于直接返现的 150 元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖12 分19.解析：（）证明：延长 DA 和CE，使它们交于 F，连结 SF 由已知，AE CD，12AECD，所以 AFAD；又因为 SAAD，所以 SDF 为直角三角形，且 DSF 为直角，即 SF SD；不妨设1BC，则在直角梯形 ABCD中，1CD，2AB，2ADBD；所以，222ADBDAB，从而 AD BD；又因为平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD 平面 ABCDAD
4、，所以 BD 平面 SAD，从而 BD SF；因为 SF SD，SF BD，SDBDD，所以 SF 平面 SBD；又因为SF 平面SCE，所以平面SBD平面SCE 6 分（）过 S 作 SH AD 于 H，则由平面 SAD 平面ABCD及平面 SAD 平面 ABCDAD，有 SH 平面 ABCD，从而 SH，AD，BD 两两垂直以 D 为原点，分别以向量 DA，DB，HS的方向为 x 轴、y 轴和 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz，如图设 SAD（0），1BC，结合（1），易得0,0,0D，0,2,0B，22,022C，22 cos,0,2 sinS从而，22 cos,0,2 sin
5、DS，22,022CB 由直线 SD 与 BC 所成角的余弦值为24，有2cos,4DS CBDS CBDS CB ，即221 cos242 1 cos2sin，解得1cos2，即3，从而26,0,22S 262,22CS，22,022DC；设向量111,x y zm为平面 SCD 的一个法向量，则由 m CS且 m DC，有111112300 xyzxy，令13x，得3,3,1m；设向量222,xyzn为平面 SBC 的一个法向量，则由 n CS且 n CB，有222222300 xyzxy，令21y ，得1,1,3 n；3105cos,3575m nm nm n；从而，4 70sin,35
6、m n；所以，二面角 DSCB的正弦值为 4 7035.12分20.解析：()定义域为|0 x x，函数为奇函数。2分()因为22()10(1)xxef xe，由()知，()f x 为奇函数，且|0 x x 所以，()f x 在(,0)和(0,)上单调递增。4分在(0,)上，122(1)1 1011fee ，2222(2)2 11011fee 所以()f x 在(0,)上有唯一零点1x，即1()0f x。又()f x 为奇函数，1110,()()0 xfxf x。故()f x 在(,0)上有唯一零点1x.综上，()f x 有且仅有两个零点。6分()因为00lnxex，故点00(,)xB ex在
7、曲线lnyx上。由题设知0()0,f x即00011xxex，连接 AB，则直线 AB 的斜率0000000000000111111xxxxxexxxkexxexxx 曲线lnyx在点00(,)xB ex处切线的斜率是0 xe；曲线xye在点00(,)xA x e处切线的斜率也是0 xe。所以曲线xye在点00(,)xA x e处的切线也是曲线lnyx的切线。12分21.解析：()设1111(,)(0,)P x yxya，则211yxa，111:2()l yyx xx，即11:22l yyax x.112,02yaAx，10,2Bay.PAtPB.11111102,2yytayytyaya，对
8、任意的1ya，t 均为常数，10,2at.4 分()设22(,)D xy，DPPB 222121211121211,2,2DP PBxxyyxyxx xxxx 22211211220 xxxxxx 12xx，10 x，故112120 xxx，即21112xxx 22222212121212DPxxyyxxxx221212111112142xxxxxxx2224211111110414PBxyyxxxx 又 DPPB，故PBD的面积为22212111114141111222228xxPBPDxxx取221 4(),08xf xxx，则 22222222161 41 4121 1 411()88x
9、xxxxfxxx.()f x 在10,2 3上是减函数，在1,2 3上是增函数.当12 3x 时，()f x 的最小值是 4 39.故PBD面积的最小值是 4 39.12 分22.解析：（）由cos4tan得22cos4sin，24xy为曲线 E 的直角坐标方程，由1,2M作倾斜角为 的直线l的参数方程为1cos2xtytsin （t 为参数）.5分（）将直线l的参数方程代入 E 的直角坐标方程24xy得：22cos2cos4sin70tt，显然cos0，设 A，B 两点对应的参数分别为 1t，2t，则 1 227cost t，1 227cosMAMBt t，由于直线 l 与l垂直，可设直线
10、l 的参数方程为1222xtcosytsin（t 为参数）与曲线 E 的直角坐标方程联立同理可得：2277sincos()2MCMD，22211287()cossinsin 2MAMBMCMD。当4 或者34 时，MAMBMCMD取得最小值为 28。10 分23.解析：()2224abaab 而0c，28884112 1cccc28+2(0)1cabacc当且仅当()(2)0ab a且1c 取得等号.5 分（）1221=2=+8161616816828aaaaaabbabaaababababaabaa当0a 时，1115+=8288aab；当且仅当=16abab，即4ba，则14,33ab时，取等号。当0a 时，1113=8288aab；当且仅当=16abab，即4ba，则1,4ab 时，取等号。综上，18aab的最小值为 38.10 分
