1、高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第7讲 函数的奇偶性与周期性1了解奇偶性及周期性的定义2掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法3会解决涉及奇偶性、周期性、单调性的简单综合问题1函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的(1)函数的奇偶性的定义如果对定义域内的_一个 x，都有_成立，那么函数 f(x)为奇函数如果对定义域内的_一个 x，都有_成立，则称 f(x)为偶函数显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 _条件任意f(x)f(x)任意f(x)f(x)必要(2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于_对称；偶函数的图象关于_
2、轴对称原点y2周期函数(1)周期函数：对于函数 f(x)的定义域内的每一个 x，都存在一个非零常数 T，使得_恒成立，则称函数 f(x)具有周期性，T 叫作 f(x)的_.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 _的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)一个周期存在一个最小1奇偶性常用结论(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；
3、奇偶奇2函数周期性常用结论对 f(x)定义域内的任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(xb)，则 T|ab|.(2)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)(3)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)(4)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)1下列函数为奇函数的是()Ay xBy|sin x|Cycos xDyexex解：y x的定义域为x|x0，不具有对称性，故 y x为非奇非偶函数，y|sin x|和 ycos x 为偶函数对于 D，f(x)exex的定义域为 R，f(x)exexf(x)，故 yexex为奇函数答案：D2已知 f(x)ax2bx 是定义在a3,2a上的偶函数
4、，那么 ab 的值是()A1B.1C.2D2解：因为 f(x)ax2bx 为偶函数，所以 b0，又偶函数的定义域关于原点对称，所以 a32a0，所以 a1，故 ab1.答案：B3(2018重庆校级月考)下列命题中：若 f(x)是奇函数，且在 x0 处有定义，则 f(0)0；偶函数必不是单调函数；奇函数 f(x)与偶函数 g(x)的定义域的交集为非空集合，则函数 f(x)g(x)一定是奇函数；若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(x)一定是偶函数正确命题的个数有()A1 个B2 个C3 个D4 个解：正确，由 f(x)是奇函数，有 f(0)f(0)，所以 f(0)0；正确；正确；正确
5、答案：D4(2017福州期末)设 f(x)是周期为 3 的奇函数，当0 x1 时，f(x)2x(1x)，则 f(72)()A14B12C.12D.14解：因为 f(x)是周期为 3 的奇函数，所以 f(72)f(72)f(723)f(12)212(112)12.答案：C5(2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cosx2，0 x2，|x12|，20，得1x1.定义域(1,1)关于原点对称，且f(x)f(x)lg 10，所以 f(x)f(x)，故 f(x)为奇函数【变式探究】1(1)函数 f(x)x2x，x0，的奇偶性是()A奇函数B偶函数
6、C非奇非偶函数D既是奇函数也是偶函数(2)(2018甘肃庆阳月考)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.解：(1)(方法 1：利用奇偶性的定义判断)当 x0，f(x)(x)2(x)(x2x)f(x)；当 x0 时，x0，xex，x0 时，x0，f(x)xexxexf(x)同理，x0 时，f(x)xex，则 f(x)exxex0 恒成立，即 f(x)在(0，)为增函数，因为 f(x2)ef(1)，所以|x2|11x3.答案：C【变式探究】2(2017江苏卷)已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是.解：
7、因为 f(x)(x)32(x)ex 1exx32xex1exf(x)，所以 f(x)x32xex1ex是奇函数因为 f(a1)f(2a2)0，所以 f(2a2)f(a1)，即 f(2a2)f(1a)因为 f(x)3x22exex3x222 exex3x20，所以 f(x)在 R 上单调递增，所以 2a21a，即 2a2a10，所以1a12.点评：(1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成 f(M)f(N)的形式，再利用单调性进行处理(2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；f(x)为奇函数f(x)f(x)若奇函数 f(x)在 x0
8、处有定义，则 f(0)0.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反考点3奇偶性与周期性的综合应用【例 3】(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)A50 B0C2 D50 解：因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(1x)f(x1)由 f(1x)f(1x)，所以f(x1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数解：由 f(x)为奇函数得 f(0)0.又因为
9、 f(1x)f(1x)，所以 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 f(2)f(0)0，所以 f(2)0.又 f(1)2，所以 f(1)2，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.答案：C【变式探究】3(2017云南玉溪一中月考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x2)1fx，当 2x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.解：因为 f(x2)1fx，所以 f(x4)f(x22)1fx2f(x)，所以 f(x)是周期为 4
10、 的周期函数，所以 f(105.5)f(4261.5)f(1.5)f(1.54)f(2.5)f(2.5)，因为 22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.所以 f(105.5)2.5.点评：(1)处理奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)注意掌握与周期性常用结论：若对于函数 f(x)的定义域内的任一自变量的值 x 都有f(xa)f(x)或 f(xa)1fx或 f(xa)1fx(a 是常数且a0)，则 f(x)是一个周期为 2|a|的周期函数；若 f(xa)f(xb)(ab)，则 f(x)是以 T|ab|为周期的周期函数；若 f(2
11、ax)f(x)且 f(2bx)f(x)，(ab)，则 f(x)是以T2|ab|为周期的周期函数 1函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)具备奇偶性的必要不充分条件；(2)f(x)f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式2f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于 y 轴对称因此可以利用函数的图象的对称性去判断函数的奇偶性3判断函数的奇偶性的最基本的方法是利用定义法：首先判断定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，立即可以判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数若定义域关于原点对称，再判断 f(x)是否等于 f(x)或f(x)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数式进行化简，或应用定义的等价形式 f(x)f(x)f(x)f(x)0fxfx 1(f(x)0)4奇偶性常常和单调性、周期性结合进行考查，具体求解时，要紧扣奇偶性、周期性的概念，充分利用化归与转化的思想方法点击进入WORD链接
