1、福建省福州一中数学(理科)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分（满分 150 分考试时间 120 分钟）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置）1.已知命题 p：xR，21x 则p是AxR，21x B.xR，21x CxR，21x D.xR，21x 2.设集合1,1M ，2Na，则“1a”是“MNM”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件3.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为 2，则输出的P值为A2 B3 C4D5
2、4.设变量,x y满足约束条件01030yxyxy ，则 2zxy的最大值为A.2 B.3 C.4 D.6 5.在等差数列na中，已知 1232,13,aaa则456aaa等于A40 B42 C43 D45 6.若2sin44pa，则sin2a等于A34 B34 C12 D127.函数 412xxfx的图象 A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于直线yx对称 D关于原点对称8.已知平面a外不共线的三点,A B C到a的距离都相等，则正确的结论是A平面ABC 必平行于aB平面ABC必与a相交C平面ABC 必不垂直于a D存在ABC的一条中位线平行于a或在a内9.已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为12
3、,F F，记它们其中的一个交点为 P，且12120F PF，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e必定满足的关系式为A1213144ee B.221231144eeC221231144ee D.221213144ee10设12,nA AAL为集合1,2,Sn的 n个不同子集4n，为了表示这些子集，作 n行 n列的数阵，规定第i行与第 j列的数为0,1,jijjiAaiA 则下列说法正确的个数是数阵中第 1 列的数全是 0 当且仅当1A ;数阵中第 n列的数全是 1 当且仅当 nAS;数阵中第 j行的数字和表明元素 j属于 12,nA AAL中的几个子集;数阵中所有的2n 个数字之和不小于 n;
4、数阵中所有的2n个数字之和不大于21nn.A2 B.3 C4 D.5 第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置11若复数1izi，则 z的共轭复数 z_.12 已 知 多 项式22012111nnnxxxbb xb xb x，且 满 足12nbbb26，则正整数 n的一个可能值为_.13已知圆22:440C xyxy，直线:362 30lxy，在圆C上任取一点A，则点 A到直线 l的距离小于 2 的概率为_14.已知lnln1xxx，则1 lnexdx _.15.已知两个非零向量 ar和 br所成的角为0qq p，规定
5、向量cab，满足：（1）模：sinca bq；（2）方向：向量 cr的方向垂直于向量 ar和 br（向量ar和br构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量 ar的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度 q到向量 br的方向，大拇指所指的方向就是向量cr的方向.这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积.对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是_.0aa;0ab等价于 ar和 br共线;叉乘运算满足交换律，即abba;叉乘运算满足数乘结合律，即ababablll.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分 13
6、分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是100,0，样本数据分组为20,0，40,20，60,40，80,60，100,80，学校规定上学所需时间不小于 1 小时的学生可以申请在学校住宿.（）求频率分布直方图中x的值；（）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取 3 人，记x为其中上学所需时间不低于 80 分钟的人数，求x的分布列及其数学期望.17.（本小题满分 13 分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图
7、都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求二面角EADB的余弦值;（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明说明理由.18.（本小题满分 13 分）如图，直角三角形ABC中，90B，1,3ABBC点,M N分别在边AB和AC上(M点和 B 点不重合)，将AMN沿MN翻折，AMN变为AMN，使顶点A 落在边BC上(A点和B点不重合).设AMNq（）用 q表示线段AM的长度，并写出 q的取值范围；（）求线段A N长度的最小值19.（本小题满分 13 分）已 知 抛 物 线 C的 顶 点 为 坐 标 原 点,其 焦 点,00F cc 到 直
8、 线l20 xy的距离为 3 22.（）求抛物线 C的方程;（）若M是抛物线 C上异于原点的任意一点，圆M与y轴相切.（i）试证：存在一定圆N 与圆M相外切，并求出圆N 的方程；（ii）若点 P 是直线 l上任意一点，,A B是圆N 上两点，且ABBNl，求PA PB的取值范围.20.（本小题满分 14 分）已知函数 lnf xaxxx的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为 3（）求实数 a的值；（）若kZ，且 f xkxk对任意1x 恒成立，求k的最大值；（III）若*2ln2 3ln3ln3,kakk kkN，证明：311nkka*,nk nN21.本题有（1）、（2）、（3）
9、三个选答题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵2413M，2010N，（）求二阶矩阵X，使MXN；（）求圆 221xy+=在矩阵X变换下的曲线方程.（2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在 直 角 坐 标 系 中，以 原 点 为 极 点，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系,已 知 曲 线2:sin2 cos0Caarqq，已 知 过 点2,4P 的 直 线l的 参 数 方
10、程 为：222242xttyt 是参数，直线 l与曲线 C分别交于,M N（）写出曲线 C和直线 l的普通方程；（）若,PMMNPN成等比数列，求 a的值（3）（本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知,a b 为正实数.（）求证22ababba；（）利用（）的结论求函数221011xxyxxx的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014 年 5 月）参考答案（理科）一选择题BACDB BADCC 二填空题11.12i；12.4；13.14；14.1；15.三解答题16.解：（I）由直方图可得：200.025200.0065200.003 2201x.所以0.0125x=.3 分（II
11、）设中位数为y，则20 0.0125200.0250.5y，解得30y 所以中位数估计为 30 分钟.6 分（III）依题意得13,2Bx，x的所有可能取值为 0,1,2,3,.7 分33131102813128PPCxx32313228PCx311328Px.11 分所以 x的分布列为x0 1 2 3 P18383818所以 x的数学期望是13322Ex.13 分17.解：（I）由三视图知，,CA CB CE两两两垂直，以C为原点，以,CA CB CE所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系1 分则 A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）(0,4,3),(4
12、,4,0)DEAB，4,4,1,0,0,1DABD 3 分zyxABCDE设面ADE的法向量为,nx y z，面ABD的法向量为,mx y z 则有00n DEn DA ，即430440yzxyz，取1z 得31,14n，00m ABm BD，即4400 xyz，取1x 得1,1,0m，6 分设二面角EADB的大小为 q，由图可知 q为钝角故317 824coscos,8241216n mn mn mq 二面角EADB的余弦值为7 8282 8 分（II）点 Q在棱DE上，存在01ll使得DQDEl 9 分0,0,10,4,30,4,31BQBDDQBDDElll l同理4,44,31AQl
13、l 11 分,0AQBQAQ BQ即 2444+3+1=0lll解得15l所以满足题设的点Q存在，DQ 的长为 1.13 分18.解：（I）设MAMAx，则1MBx 在Rt MBA中，1cos2xxpq，2 分2111cos22sinMAxqq 4 分点M在线段AB 上，M点和 B 点不重合，A 点和 B 点不重合，4 2p pq，5 分（II）在AMN中，23ANMp q2sinsin3ANMApqq,21sinsin12sin222sinsin2sinsin333MAANqqqpppqqqq 8 分令22132sin sin2sinsincossin3sincos322tpqqqqqqqq
14、1311sin2cos2sin 222226pqqq 11 分 42ppq，52366pppq当且仅当262ppq，即3pq时，t有最大值32.3pq时，AN有最小值23 13 分19.解：()依题意,设抛物线 C的方程为24ycx,由023 222c 结合0c,解得1c.所以抛物线 C的方程为 24yx.4 分()（i）设圆M与y轴的切点是点M,连结MM交抛物线C的准线于点M，则1MMFMMr，所以圆M与以F 为焦点，1 为半径的圆相切，圆N 即为圆F，圆N 的方程为2211xy;8 分(ii)由ABBNl可知，AB为圆N 直径，9 分从而 22213 21272PA PBPNNAPNNBP
15、NPNNANBNA NBPN所以PA PB的取值范围是7,2.13 分20.解：（I）因为 lnf xaxxx，所以 ln1fxax 1 分因为函数 lnf xaxxx的图像在点ex 处的切线斜率为 3，所以 e3f，即 lne 1 3a 所以1a 2 分（II）由（1）知，lnf xxxx，所以 1f xkx对任意 1x 恒成立，即ln1xxxkx对任意1x 恒成立3 分令 ln1xxxg xx，则 2ln21xxgxx，4 分令 ln2h xxx 1x，则 1110 xh xxx，所以函数 h x在1,上单调递增 5 分因为 31 ln30,42 2ln20hh ，所以方程 0h x 在1
16、,上存在唯一实根0 x，且满足03,4x 当01()0 xxh x时，即()0g x，当0()0 xxh x时，即()0g x，6 分所以函数 ln1xxxg xx在01,x上单调递减，在0,x 上单调递增所以 000000min001 ln123,411xxxxg xg xxxx 7 分所以 0min3,4kg xx故整数k 的最大值是 3 8 分（III）由（II）知ln231xxxx，取*2,xk kkN，则有2ln22 2 3,3ln32 3 3,ln23kkk 将上面各式相加得222ln23ln3ln2 2331211kkkkkkk 即21kak，故211131(2)1kkakkk，
17、所以331111111 22312111111223211111nkknaaannnnn 14 分21.（1）解：（）法：由于 24213，M-1=1322112M,1XM N32201021100012；3 分（）设圆上任意一点,x y在矩阵1M 对应的变换作用下变为,x y则100 00 xxxyy 则0 xxy ，所以作用后的曲线方程为0(11)yx=-.7 分（2）解：（）2,22xyaxy4 分（）直线l的参数方程为tytx224222（t为参数）,代入axy22 得到0)4(8)4(222atat,则有)4(8),4(222121attatt，因为2MNPM PN，所以2121 2ttt t，即2121 25ttt t，即28 440 4aa解得1a7 分（3）（）证明：0,0ab，由柯西不等式得222ababbabaabbaba等号成立当且仅当abbaab，即ab.所以22ababba.4 分（）解：01,10 xx 由（）知，221111xxyxxxx，当且仅当1xx，即12x 时等号成立.所以函数221011xxyxxx的最小值为 1.7 分
