1、数学 第2节 圆与方程 数学 最新考纲 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.数学 知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】1.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?提示:当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了,因此,确定一个圆的最基本要素是圆心和半径.2.圆的一般方程中为何限制D2+E2-4F0?提示:圆的一般方程配方后得(x+2D)2+(y
2、+2E)2=14(D2+E2-4F).当 D2+E2-4F0 时,方程才能表示圆;当 D2+E2-4F=0 时,方程表示点(-2D,-2E);当 D2+E2-4F0)圆心,22DE 半径22142DEF(x-a)2+(y-b)2=r2 1.圆的定义与方程 数学 相离 相切 相交 图形 代数观点 0 量 化 几何观点 dr d=r dr 2.点A(x0,y0)与C的位置关系(1)|AC|r点A在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r点A在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2.3.直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,其判别式为,设圆心到直线的距离为d,圆的半径
3、为r.位置关系列表如下:数学 4.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d,弦长一半 12 l 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解,即 r2=d2+212l.(2)代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式.|AB|=21k|xA-xB|=22(1)()4ABABkxxx x.说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.数学 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d r1+r2 d=r1+r2|r1-r2|d r1+r2 d=|r1-r2|d|r1-r2|5.圆与圆的位置关系 O1、O2半径分别为r1,r2,d=|O1O2|.数学【重要结论】1.两圆相交时,公共弦所
4、在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.2.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过M点的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2.数学 夯基自测 1.圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是()(A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10 x=0(D)x2+y2-10 x=0 B 解析:设圆心为(0,m),由已知得圆的方程为x2+(
5、y-m)2=m2,又因为圆过点(3,1),则9+(1-m)2=m2,解得m=5.故圆的方程为x2+(y-5)2=52,即x2+y2-10y=0.数学 2.(2015 北京西城期末)若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4 的内部,则实数 m 的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(-3,3)(C)(-2,2)(D)(-22,22)C 解析:因为(0,0)在(x-m)2+(y+m)2=4 的内部,则有(0-m)2+(0+m)24,解得-2 m2.数学 3.(2015温州十校联考)对任意的实数k,直线y=kx-1与圆C:x2+y2-2x-2=0的位置关系是()(A)相离(B)相切(C)相交(
6、D)以上三个选项均有可能 C 解析:直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),圆 x2+y2-2x-2=0 的圆心为 C(1,0),半径为3,而|AC|=2 0),且(32)2+b2=1,可解得 b=12.故圆的标准方程为(x-1)2+(y-12)2=1.答案:(x-1)2+(y-12)2=1 数学 5.圆x2+y2+x-2y-20=0与圆x2+y2=25相交所得的公共弦长为 .解析:公共弦的方程为(x2+y2+x-2y-20)-(x2+y2-25)=0,即 x-2y+5=0,圆 x2+y2=25 的圆心到公共弦的距离 d=|0205|5=5,而半径为 5,故公共弦长为 2225(5)=4
7、5.答案:45 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 圆的方程【例 1】(1)(2015 潍坊一模)若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆C 的方程为()(A)(x-2)2+(y2)2=3(B)(x-2)2+(y3)2=3(C)(x-2)2+(y2)2=4(D)(x-2)2+(y3)2=4 解析:(1)因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y 轴相切,所以半径 r=2,设圆心坐标为(2,b),则(1-2)2+b2=4,b2=3,b=3,故选 D.答案:(1)D 数学(2)(2015 温州十校联考)已知抛物线 C1:x2
8、=2y 的焦点为 F,以 F 为圆心的圆 C2交 C1于 A,B两点,交 C1 的准线于 C,D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方程为()(A)x2+(y-12)2=3 (B)x2+(y-12)2=4(C)x2+(y-1)2=12 (D)x2+(y-1)2=16 解析:(2)如图,连接 AC,BD,由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为 F(0,12),而|FA|=|AD|=|FB|为圆的半径 r,于是 A(32 r,12+12 r),而 A 在抛物线上,故(32 r)2=2(12+12 r),所以 r=2,故选 B.答案:(2)B 数学 解析:(3)设圆 C 的方程为 x2+y
9、2+Dx+Ey+F=0.则 k,2 为 x2+Dx+F=0 的两根,所以 k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k,又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0.所以 E=-2k-1.故所求圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为(22k,212k).因为圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,所以 kCP=-1=212kk,所以 k=-3.所以 D=1,E=5,F=-6.所以所求圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y-6=0.(3)圆C通过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,则圆C的方程为 .答案:(3
10、)x2+y2+x+5y-6=0 数学 反思归纳 (1)求圆的方程,一般采用待定系数法.若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程.若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程.(2)在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上.数学【即时训练】(1)已知圆心在 x 轴上,半径为5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 .(2)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长为 22,则圆 C 的标准方程为 .解析:(1)设圆心为(a,0
11、)(a0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=222rd.提醒:代数法计算量较大,一般选用几何法.数学 圆与圆的位置关系 考点三 【例 3】(1)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是()(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切(2)若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为 23,则 a=.解析:(1)圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径 r1=1,圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半径 r2=2,故两圆的圆心距 d=5,而 r2-r1=1,r1+r
12、2=3,则 r2-r1d0,结合图象,再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可得1a=222(3)=1 a=1.答案:(1)B(2)1 数学 反思归纳 判断圆与圆的位置关系时,一般不用代数法:利用几何法的关键是判断圆心距|O1O2|与半径的关系.数学【即时训练】(1)已知圆C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m3),则两圆的位置关系是()(A)相交(B)内切(C)外切(D)相离(2)若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .解析:(1)将两圆方程分别化
13、为标准形式.圆 C1:(x-m)2+y2=4,圆 C2:(x+1)2+(y-m)2=9,则|C1C2|=22(1)mm=2221mm 22 32 3 1 =5=2+3,所以两圆相离,故选 D.(2)由题意知OAO1A,在RtOO1A 中,|OA|=5,|O1A|=25,所以|OO1|=5,所以由|OO1|12|AB|=|OA|O1A|,得|AB|=252 55=4.答案:(1)D(2)4 数学 与圆有关的轨迹问题 考点四 【例 4】已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点.(1)求线段 AP 中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段 PQ
14、 中点的轨迹方程.解:(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y).在RtPBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.数学 反思归纳 求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;(2)定义法
15、:根据圆的定义写出方程;(3)几何法:利用圆的性质列方程;(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.数学 备选例题 【例 1】若直线 y=x+b 与曲线 x=21y恰有一个公共点,则 b 的取值范围是()(A)(-1,1(B)-2 (C)2 (D)(-1,1或-2 解析:由 x=21y知,曲线表示半圆(如图),让直线 y=x+b 在图形中运动,可知当-1b1 时,与半圆有一个公共点,当直线与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点,此时|2b=1,求得 b=2(舍去)或 b=-2.故选 D.数学【例 2】若曲线 y=21x和直线 y=k(x-1)+1 有两个公共点,则实数 k
16、的取值范围是 .解析:曲线 y=21x表示以(0,0)为圆心,1 为半径的上半圆,直线 y=k(x-1)+1过定点 A(1,1),如图所示,kAD=0,kAB=12.由图可知当直线与曲线有两个公共点时 k 的取值范围为(0,12.答案:(0,12 数学【例3】(1)若圆(x+1)2+(y-3)2=9上的相异两点P,Q关于直线kx+2y-4=0对称,则k的值为 .(2)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 .解析:(1)圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.已知圆的圆心为(-1,3),由题设知,直线kx+2y-4=0过圆心,则k(-1)+23-4=0,解得k=2.(2
17、)因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称,所以所求圆的圆心为(2,0),半径为,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:(1)2(2)(x-2)2+y2=5 数学【例 4】已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.(1)求 yx 的最大值和最小值;解:原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点 C(2,0)为圆心,以3 为半径的圆.(1)设 yx=k,即 y=kx,由图可知当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值,RtAOC 中,tan AOC=2323=3,故 k 的最大值为3,由对称性知 k 的最小值为-3.故
18、yx 的最大值为3,最小值为-3.数学 解：(2)设 y-x=b,即 y=x+b,由图可知当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值和最小值,此时|20|2b=3,即 b=-26.故 y-x 的最大值为-2+6,最小值为-2-6.(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.(3)x2+y2 表示圆上点与原点距离的平方,由图知 x2+y2 的最大值为(|OC|+3)2=(2+3)2=7+43.最小值为(|OC|-3)2=(2-3)2=7-43.数学 经典考题研析 在经典中学习方法 利用对称性求范围【典例】(2014 高考新课标全国卷)设点 M(x0,1),若在圆
19、O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45,则 x0 的取值范围是 .审题指导 关键点 所获信息 M(x0,1)点M在直线y=1上 点N在圆x2+y2=1上 为确定关于x0的不等式提供依据 OMN=45 可利用45这个特殊角的三角函 数值 解题突破:作出圆O的两条切线,由题意分析出两条切线所成角的范围后进而求解 数学 解析:法一 过 M 作圆 O 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B.若在圆 O 上存在点 N,使OMN=45,则OMBOMN=45,所以AMB90.所以-1x01.数学(教师备用)法二 过 O 作 OPMN 于 P,则|OP|=|OM|sin 451,所以|OM|2,即201x 2,所以20 x 1,即-1x01.答案:-1,1 数学 命题意图:本题主要考查直线与圆的位置关系,由已知角条件确定动点位置,意在考查学生的分析转化能力,数形结合能力,综合应用能力和创新能力.数学 点击进入课时训练数学