1、第五节 指数函数考纲点击 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.热点提示 1.本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质及简单的应用,但幂的运算是解决与指数有关问题的基础,也要引起重视,另外分类讨论思想也是考查的另一重点.2.高考中,可能以选择、填空形式考查,也可能与方程、不等式等知识结合出现在解答题中,属中、低档题.根式的概念 符号表示 备注 如果xna,那么x叫做a的n次方根 n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是
2、一个正数,负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 (a0)负数没有偶次方根 1根式(1)根式的概念(2)两个重要公式 2有理数指数幂(1)幂的有关概念 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的性质 aras (a0,r、sQ);(ar)s (a0,r、sQ);(ab)r (a0,b0,rQ)0没有意义arsarsarbryax a1 0a0时,y1;x0时,0y0时,0y1;x1(3)在(,)上是增函数(3)在()上是减函数 3指数函数的图象与性质 如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx
3、的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系 提示:在图中作直线x1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1d11a1b1,cd1ab.即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大 1若xx12 ,则x3x3的值等于()A14 B10 C8 D10【答案】B【解析】x3x3(xx1)(x21x2)(xx1)(xx1)22xx11 2 (2 )2310 .2函数f(x)3x1的定义域、值域是()A定义域是R,值域是R B定义域是R,值域是(0,)C定义域是R,值域是(1,)D以上都不对 【答案】C【解析】y3x ,其定义域为R,值域为(0,)f(x)3x1的定义域为R,值
4、域为(1,)3下列四种说法中,正确的是()Ay2x1和y 都是指数函数 B指数函数yax的最小值是0 C对任意的xR,都有3x2x D函数yax与y 的图象关于y轴对称【解析】依指数函数定义知y2x122x,它不是指数函数,A选项错误;yax0,B选项错误;从y2x与y3x的图象中可以看出 当x0时,3x2x;当x0时,3x2x;当x0且a1)的图象恒过定点_【解析】yax(a0,且a1)恒过定点(0,1),yax2 0092 010恒过定点(2 009,2 011)【答案】(2 009,2 011)5已知f(x)a|x|(a0,且a1),若对于mnf(n)成立,则a的取值范围是_【解析】f(
5、x)a|x|,f(m)f(n),a|m|a|n|又mnn0,即|m|n|由知a1.【答案】a1 指数冪的化简与求值 化简下列各式(其中各字母均为正数):【思路点拨】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂,先化为分数指数幂以便用法则运算;(2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件,如符合用法则进行下去,如不符合应再创设条件去求【自主探究】【方法点评】指数幂的化简与求值的原则及结果要求(1)化简原则 化负指数为正指数;化根式为分数指数幂;化小数为分数;注意运算的先后顺序;【特别提醒】有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于0,否则不能用性质来运算(2)结果要求 若题目以根式形
6、式给出,则结果用根式表示;若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示;结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂 1化简下列各式:【解析】指数函数的图象及应用 已知函数y (1)作出图象;(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值【思路点拨】【自主探究】(1)由已知可得 其图象由两部分组成:y=3x+1(x-1)图象如图:(2)由图象知函数在(-,-1)上是增函数,在(-1,+)上是减函数(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值【方法点评】带有绝对值的图象作图,一般分为两种情况,一种是去掉绝对值作图,一种是不去绝对值,如y=f(
7、|x|)可依据函数是偶函数,先作出y=f(x)(x0)的图象,x0且a1)在区间0,)上是增函数,求实数a的取值范围【思路点拨】先化简f(x)的表达式,利用复合函数的单调性的方法求解,或利用求导的方法来解【自主探究】由题意得f(x)(ax)2(3a21)ax,令tax,g(t)t2(3a21)t(t0)当a1时,tax在0,)上为增函数,则此时t1,而对于g(t)而言,对称轴 故f(x)在0,)上不可能为增函数;当0a1时,tax在0,)上为减函数,此时00,且a1)在区间1,1上的最大值为14,求实数a的值【解析】f(x)a2x2ax1(ax1)22,x1,1,1(2009年辽宁高考)已知函
8、数f(x)满足:当x4时,f(x);当x4时,f(x)f(x1)则f(2log23)()【答案】A【解析】23422,1log232.32log23f(n),则m、n的大小关系为_ 【解析】a (0,1),故amanmn.【答案】mn 4(2008年重庆高考)已知【答案】3【解析】则loga_.5(2008年湖北高考)方程2xx23的实数解的个数为_ 由图象可得方程2-x+x2=3的实数解的个数为2.【答案】2【解析】2xx23,x23,令y 和yx23,其两函数的图象如下:1在进行分数指数幂与根式的运算时,通常根式转化为分数指数幂,利用分数指数幂的运算法则进行运算化简 2单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线当0a1时,x,y0;当a1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0a1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快 借助函数的图象解题是重要的数学方法 3当指数函数的底数含参数时,解题时应对底数分类讨论解之 课时作业点击进入链接