1、第五节 指数函数考纲点击 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.热点提示 1.本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质及简单的应用，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视，另外分类讨论思想也是考查的另一重点.2.高考中，可能以选择、填空形式考查，也可能与方程、不等式等知识结合出现在解答题中，属中、低档题.根式的概念 符号表示 备注 如果xna，那么x叫做a的n次方根 n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是
2、一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 (a0)负数没有偶次方根 1根式(1)根式的概念(2)两个重要公式 2有理数指数幂(1)幂的有关概念 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的性质 aras (a0，r、sQ)；(ar)s (a0，r、sQ)；(ab)r (a0，b0，rQ)0没有意义arsarsarbryax a1 0a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(3)在(，)上是增函数(3)在()上是减函数 3指数函数的图象与性质 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx
3、的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系 提示：在图中作直线x1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，cd1ab.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 1若xx12 ，则x3x3的值等于()A14 B10 C8 D10【答案】B【解析】x3x3(xx1)(x21x2)(xx1)(xx1)22xx11 2 (2 )2310 .2函数f(x)3x1的定义域、值域是()A定义域是R，值域是R B定义域是R，值域是(0，)C定义域是R，值域是(1，)D以上都不对 【答案】C【解析】y3x ，其定义域为R，值域为(0，)f(x)3x1的定义域为R，值
4、域为(1，)3下列四种说法中，正确的是()Ay2x1和y 都是指数函数 B指数函数yax的最小值是0 C对任意的xR，都有3x2x D函数yax与y 的图象关于y轴对称【解析】依指数函数定义知y2x122x，它不是指数函数，A选项错误；yax0，B选项错误；从y2x与y3x的图象中可以看出 当x0时，3x2x；当x0时，3x2x；当x0且a1)的图象恒过定点_【解析】yax(a0，且a1)恒过定点(0,1)，yax2 0092 010恒过定点(2 009,2 011)【答案】(2 009,2 011)5已知f(x)a|x|(a0，且a1)，若对于mnf(n)成立，则a的取值范围是_【解析】f(
5、x)a|x|，f(m)f(n)，a|m|a|n|又mnn0，即|m|n|由知a1.【答案】a1 指数冪的化简与求值 化简下列各式(其中各字母均为正数)：【思路点拨】(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求【自主探究】【方法点评】指数幂的化简与求值的原则及结果要求(1)化简原则 化负指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序；【特别提醒】有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质来运算(2)结果要求 若题目以根式形
6、式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂 1化简下列各式：【解析】指数函数的图象及应用 已知函数y (1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值【思路点拨】【自主探究】(1)由已知可得 其图象由两部分组成：y=3x+1(x-1)图象如图：(2)由图象知函数在(-，-1)上是增函数，在(-1，+)上是减函数(3)由图象知当x=-1时，函数有最大值1，无最小值【方法点评】带有绝对值的图象作图，一般分为两种情况，一种是去掉绝对值作图，一种是不去绝对值，如y=f(
7、|x|)可依据函数是偶函数，先作出y=f(x)(x0)的图象，x0且a1)在区间0，)上是增函数，求实数a的取值范围【思路点拨】先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解【自主探究】由题意得f(x)(ax)2(3a21)ax，令tax，g(t)t2(3a21)t(t0)当a1时，tax在0，)上为增函数，则此时t1，而对于g(t)而言，对称轴 故f(x)在0，)上不可能为增函数；当0a1时，tax在0，)上为减函数，此时00，且a1)在区间1,1上的最大值为14，求实数a的值【解析】f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1，1(2009年辽宁高考)已知函
8、数f(x)满足：当x4时，f(x)；当x4时，f(x)f(x1)则f(2log23)()【答案】A【解析】23422，1log232.32log23f(n)，则m、n的大小关系为_ 【解析】a (0,1)，故amanmn.【答案】mn 4(2008年重庆高考)已知【答案】3【解析】则loga_.5(2008年湖北高考)方程2xx23的实数解的个数为_ 由图象可得方程2-x+x2=3的实数解的个数为2.【答案】2【解析】2xx23，x23，令y 和yx23，其两函数的图象如下：1在进行分数指数幂与根式的运算时，通常根式转化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算法则进行运算化简 2单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线当0a1时，x，y0；当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快 借助函数的图象解题是重要的数学方法 3当指数函数的底数含参数时，解题时应对底数分类讨论解之 课时作业点击进入链接