1、广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）sin240的值为（）ABCD2（5分）已知函数f（x）=3x（xR）的反函数为g（x），则g（）=（）Alog32Blog32Clog23Dlog233（5分）已知双曲线C：=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）ABCD4（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A21B32C34D645（5分）已知命题p：xR，x20，命题q：，R，使tan（+）=tan+tan，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）q
2、Dp（q）6（5分）设集合A=x|a2xa+2，B=x|x24x50，若AB，则实数a的取值范围为（）A1，3B（1，3）C3，1D（3，1）7（5分）已知数列an满足a1=3，且an+1=4an+3（nN*），则数列an的通项公式为（）A22n1+1B22n11C22n+1D22n18（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3，若在区间4，4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD19（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）ABCD10（5分）设函数f（x）=x3
3、+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）ABCD1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=12（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，1），则x+y=13（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行
4、驶速度为km/h（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分BAD，作DGAE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为（坐标系与参数方程选做题）15在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有个三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3（1）求cosA的值；（2）若ABC外接圆的半径为
5、14，求ABC的面积17（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）现从回收的年龄在2060岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率20，30）40280.730，40）n270.940，50）104b50，6020a0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在40，60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在50，60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率18（14分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=
6、AN=1（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比19（14分）已知点Pn（an，bn）（nN*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列an是公差为1的等差数列（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若f（n）=是否存在kN*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（aR）（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间21（14分）已知圆心在x轴上的圆
7、C过点（0，0）和（1，1），圆D的方程为（x4）2+y2=4（1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）sin240的值为（）ABCD考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答：解：sin240=sin（180+60）=sin60=，故选：D点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，
8、熟练掌握诱导公式是解本题的关键2（5分）已知函数f（x）=3x（xR）的反函数为g（x），则g（）=（）Alog32Blog32Clog23Dlog23考点：反函数 专题：函数的性质及应用分析：直接利用反函数的定义，求解即可解答：解：函数f（x）=3x（xR）的反函数为g（x），可知，=3x，解得x=log32故选：A点评：本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力3（5分）已知双曲线C：=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的方程，然后求解离心率解答：解：双曲线C：=1经过点（4，3），可得，解得b2=3
9、，双曲线C：=1，可得a=2，c=，e=故选：C点评：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力4（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A21B32C34D64考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=32时，不满足条件z20，退出循环，输出z的值为32解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=2，z=2满足条件z20，x=2，y=2，z=4满足条件z20，x=2，y=4，z=8满足条件z20，x=4，y=8，z=32不满足条件z20，退出循环，输出z的值为32故选：B点评：本题主要考查了循环结构的
10、程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题5（5分）已知命题p：xR，x20，命题q：，R，使tan（+）=tan+tan，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qDp（q）考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断解答：解：命题p：xR，x20，为假命题，故p为真命题；命题q：，R，使tan（+）=tan+tan，当=成立，所以命题q为真命题，q为假命题，则pq为假命题，p（q）为假命题，pq为真命题，pq为假命题，故选：C点评：本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复
11、合命题与简单命题真假之间的关系6（5分）设集合A=x|a2xa+2，B=x|x24x50，若AB，则实数a的取值范围为（）A1，3B（1，3）C3，1D（3，1）考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：先解出集合B=x|1x5，而集合A显然不是空集，从而由AB便得到，解该不等式组即得实数a的取值范围解答：解：B=x|1x5，A=x|a2xa+2；若AB，则：；1a3；实数a的取值范围为1，3故选A点评：考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合，空集的概念，以及子集的概念，也可借助数轴7（5分）已知数列an满足a1=3，且an+1=4an+3（nN*），则数列an的通项公式为（）A22n
12、1+1B22n11C22n+1D22n1考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由数列递推式构造等比数列an+1，求其通项公式后可得数列an的通项公式解答：解：由an+1=4an+3（nN*），得an+1+1=4（an+1），a1=3，a1+1=3+1=40，则数列an+1是以4为首项，以4为公比的等比数列，则故选：D点评：本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题8（5分）已知函数f（x）=x2+2x+3，若在区间4，4上任取一个实数x0，则使f（x0）0成立的概率为（）ABCD1考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：由题意，本题符合几何概型的特点，只
13、要求出区间长度，由公式解答解答：解：已知区间4，4长度为8，满足f（x0）0，f（x）=x02+2x0+30，解得1x03，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）0成立的概率是=故选：B点评：本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答9（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）ABCD考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两
14、点之间线段最短”得出结果解答：解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2=3，解得：=，AOA=，则1=，过C作CFOA，C为OB的三等分点，BO=3，OC=1，1=60，OCF=30，FO=，CF2=CO2OF2=，AO=3，FO=，AF=，在RtAFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=故选：B点评：考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决10（5分）设函数
15、f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x11，0，x21，2，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）ABCD1考点：利用导数研究函数的极值；简单线性规划 专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，求解面积即可；解答：解：函数f（x）=x3+3ax2+3bx，可得f（x）=3x2+6ax+3b，依题意知，方程f（x）=0有两个根x1、x2，且x11，0，x21，2等价于f（1）0，f（0）0，f（1）0，f（2）0由此得b，c满足的约束条件为，满足这些条件
16、的点（a，b）的区域为图中阴影部分阴影部分的面积为：=1故选：D点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，是中档题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的求模运算法则，求解即可解答：解：i为虚数单位，复数z=，则|z|=故答案为：点评：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查12（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，1），则x+y=3考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析
17、：利用向量的坐标运算及其相等即可得出解答：解：+=（x，1）+（2，y）=（x+2，1+y）=（1，1），x+2=1，1+y=1，x=1，y=2x+y=3故答案为：3点评：本题考查了向量的坐标运算及其相等，属于基础题13（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为60km/h考点：根据实际问题选择函数类型 专题：应用题；函数的性质及应用分析：由题意，b=3600a，利用一辆这种型号的
18、汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），可得3b=ax2，代入即可得出结论解答：解：由题意，b=3600a，一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），3b=ax2，33600a=ax2，x=60故答案为：60点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分BAD，作DGAE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为4考点：三角形中的几何计算 专题：证明题分析：由AE为角平分线，得到一对角相等
19、，再由四边形ABCD为平行四边形，得到ADBF，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DE，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出ADE为等腰三角形，根据“三线合一”得到G为AE中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AE的长，再由ADEFCE得出AE=FE，即可求出AF的长解答：解：AE为DAB的平分线，DAF=BAF，DCAB，BAF=DEA，DAF=DEA，AD=ED，又E为DC的中点，DE=CE，AD=DE=DC=AB=2，在RtADG中，根据勾股定理得：AG=，则AE=2AG=2，平行四边形ABCD
20、，ADBC，DAE=F，ADE=FCE，在ADE和FCE中，ADEFCE（AAS），AE=FE，则AF=2AE=4故答案是：4点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键（坐标系与参数方程选做题）15在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有1个考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步建立方程组转化成一元二次方程，最后利用判别式求出曲线的交点的个数解答：1解：已知曲线C1方程（t为参数）转
21、化为直角坐标方程为：xy2=0曲线C2的方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x2=8y所以：，整理得：x28x+16=0所以：=6464=0则：曲线C1和C2的交点有1个故答案为：1点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，方程组的应用，利用一元二次方程的判别式求方程的根的个数三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3（1）求cosA的值；（2）若ABC外接圆的半径为14，求ABC的面积考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）设a=7t，b=
22、5t，c=3t，由余弦定理即可求cosA的值（2）由（1）可得sinA的值，利用已知及正弦定理求出sinA与sinB及sinC的值，再由正弦定理可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求出ABC的面积解答：解：（1）由题意可设：a=7t，b=5t，c=3t，则由余弦定理可得：cosA=（2）由（1）可得：sinA=，由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：5：3从而可得：sinB=，sinC=，由正弦定理=2R，以及R=14，得a=2RsinA=14，b=2RsinB=10，SABC=absinC=45点评：本题2015届中考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理等知识的综
23、合应用，属于基本知识的考查17（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）现从回收的年龄在2060岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率20，30）40280.730，40）n270.940，50）104b50，6020a0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在40，60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在50，60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）根据频率直方分
24、布图，通过概率的和为1，求求出n，a，b，c的值，（2）年龄在40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在50，60中答对全卷的2人记为a，b，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可解答：解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100（40+10+20）=30年龄在40，50）中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b=410=0.4年龄在50，60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以a20=0.1，解得a=2根据频率直方分布图，得（0.04+0.03+c+0.01）10=1，解得c=0.02（2）因为年龄在40，50）与50，60中答对全
25、卷的人数分别为4人与2人年龄在40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在50，60中答对全卷的2人记为a，b，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种其中所抽取年龄在50，60）的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种故所求的概率为=点评：本题考查频率分布直方图，古典概型得概率问题，关键是不重不漏得列举基本事件，属于基础题18（14分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA
26、1，AB上的点，且AM=AN=1（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连接A1B，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形得到A1BD1C在ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，可得MNA1BMND1C即可证明（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMNDCD1为三棱台利用体积计算公式即可得出解答：（1）证明：连接A1B，在四边形A1BCD1中，四边形A1BCD1是平行四边形A1BD1C
27、在ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，MNA1BMND1CM，N，C，D1四点共面；（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMNDCD1为三棱台SAMN=S1，=S2V1=，V1=点评：本题考查了线面平行的判定定理、正方体的性质、三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题19（14分）已知点Pn（an，bn）（nN*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列an是公差为1的等差数列（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若f（n）=是否存在kN*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合
28、条件的k值；若不存在，请说明理由考点：数列与函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用已知条件求出a1=0，b1=1，然后求出an，通过点Pn（an，bn）在直线l：y=3x+1上，求出bn（2）化简f（x）=，假设存在kN*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过当k为奇数时，当k为偶数分别求解k即可解答：（本小题满分14分）解：（1）因为P1（a1，b1）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），所以a1=0，b1=1（2分）因为数列an是公差为1的等差数列，所以an=n1（4分）因为点Pn（an，bn）（nN*）在直线l：y=3x+1上，所以bn=3an+1=3n2所以数列a
29、n，bn的通项公式分别为an=n1，bn=3n2kN*（6分）（2）因为f（x）=假设存在kN*，使f（k+3）=4f（k）成立（7分）当k为奇数时，k+3为偶数，则有3（k+3）2=4（k1），解得k=11，符合题意（10分）当k为偶数时，k+3为奇数，则有（k+3）1=4（3k2），解得k=，不合题意（13分）综上可知，存在k=11符合条件（14分）点评：本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（aR）（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函
30、数f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：函数的性质及应用分析：（1）由条件求得f（x），再根据有f（1）=0，求得a的值（2）由条件求得f（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间解答：解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+），f（x）=+2ax+1，依题意有f（1）=1+2a+1=0，解得a=1此时，f（x）=，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0（2）因为f（x）=，（）当a0时，因为x（0，+），所以f
31、（x）=0，此时函数f（x）在（0+）是增函数（）当a0时，令f（x）=0，则2ax2+x=1=0因为=18a0，此时，f（x）=，其中，x1=，x2=因为a0，所以 x20，又因为 x1x2=0，所以x10当0x1x2时，f（x）0，当x1x2时，f（x）0，函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+）上是减函数综上可知，当a0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+）；当a0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+）点评：本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题21（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，
32、0）和（1，1），圆D的方程为（x4）2+y2=4（1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：（1）求出A（0，0）和B（1，1）的垂直平分线方程，得到其与x轴的交点坐标，即圆C的圆心坐标，进一步求得半径，代入圆的标准方程得答案；（2）设出P点坐标，然后求出切线方程，得到切线在y轴上的截距，利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围解答：解：（1）过两点A（0，0）和B（1，1）的直线的斜率为1，则线段AB的中垂线方程为：，整理得：y=x+1取y=0，得x=1圆C的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆C的方程为：（x+1）2+y2=1；（2）设P（x0，y0），A（0，a），B（0，b），则直线PA方程为，整理得：（y0a）xx0y+ax0=0直线PA与圆C相切，可得，化简得；同理可得PB方程，因而a，b为的两根，丨AB丨=|ab|=，令t=x0+24，8，则，配方可求得故答案为：点评：本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了数学转化、化归等思想方法，是中档题
