1、第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数 学 习 目 标核 心 素 养 1了解极大值、极小值的概念(难点)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点)3会用导数求函数的极大值、极小值(重点)1通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养2借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)_，而且在点 xa 附近的左侧_，右侧_，就把_叫做函数 yf(x)的极小值
2、点，_叫做函数 yf(x)的极小值0 f(x)0f(x)0点 af(a)(2)极大值点与极大值若函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)_，而且在点 xb 附近的左侧_，右侧_，就把_叫做函数 yf(x)的极大值点，_叫做函数 yf(x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为_；极大值、极小值统称为_0 f(x)0f(x)0点bf(b)极值点极值思考：导数为 0 的点一定是极值点吗？提示 不一定，如 f(x)x3，f(0)0,但 x0 不是 f(x)x3 的极值点所以，当 f(x0)0 时，要判断 xx0 是否为 f(x)的极值点，还要看
3、f(x)在 x0 两侧的符号是否相反2求可导函数 yf(x)的极值的方法解方程 f(x)0.当 f(x0)0 时：(1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是_；(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是_极大值极小值1函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C 设 yf(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 xx1
4、，xx3 处取得极大值，在 xx2，xx4处取得极小值2函数 f(x)x44x33的极值点为()A0 B1 C0 或 1 D1D f(x)x3x2x2(x1)，由 f(x)0 得 x0 或 x1.又当 x1 时 f(x)0,0 x1 时 f(x)0，1 是 f(x)的极小值点 又 x0 时 f(x)0，故 x0 不是函数的极值点3下列关于函数的极值的说法正确的是()A导数值为 0 的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数D 由极值的概念可知只有 D 正确4函数 f(
5、x)x33x21 的极小值点为_2 由 f(x)3x26x0，解得 x0 或 x2.列表如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00 f(x)极大值极小值 当 x2 时，f(x)取得极小值合 作 探 究 释 疑 难 求函数的极值点和极值角度 1 不含参数的函数求极值【例 1】求下列函数的极值(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9，令 y0，即 3x26x90，解得 x11，x23.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x(,1)1(1,3)3(3，)y00y极大值极小值 当 x1 时，函数 yf(x)有极大值，且 f(1)10；当 x3 时，函数 y
6、f(x)有极小值，且 f(3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)，令 y0，即 5x2(x3)(x5)0，解得 x10，x23，x35.当 x 变化时，y与 y 的变化情况如下表：x(,0)0(0,3)3(3,5)5(5,)y000 y无极值 极大值108 极小值0 x0 不是 y 的极值点；x3 是 y 的极大值点，y 极大值f(3)108；x5 是 y 的极小值点，y 极小值f(5)0.跟进训练1求函数 f(x)13x34x4 的极值解 由题意可知 f(x)x24.解方程 x240，得 x12，x22.由 f(x)0 得 x2 或 x2；由 f(x)0 得2
7、x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00 f(x)28343 由表可知：当 x2 时，f(x)有极大值 f(2)283.当 x2 时，f(x)有极小值 f(2)43.角度 2 含参数的函数求极值【例 2】已知函数 f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，当 aR且 a23时，求函数的极值思路探究：求f x0的根分a23和a23 讨论f x的单调性求极值 解 f(x)x2(a2)x2a24aex.令 f(x)0，解得 x2a 或 xa2.由 a23知，2aa2.以下分两种情况讨论：若 a23，则2aa2.当 x 变化时，f(x)，
8、f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值 极小值 f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数 函数 f(x)在 x2a 处取得极大值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a；函数 f(x)在 xa2 处取得极小值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.若 a23，则2aa2，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值 极小值 f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数 函数 f(x)在 xa2 处取得
9、极大值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2；函数 f(x)在 x2a 处取得极小值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数 f(x)；(3)令 f(x)0，求出全部的根 x0；(4)列表：方程的根 x0 将整个定义域分成若干个区间，把 x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在 x0 附近左正右负，则在 x0 处取得极大值；若左负右正，则取得极小值跟进训练2若函数 f(x)xaln x(aR)，求函数 f(x)的极值解 函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1axxa
10、x.(1)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，函数 f(x)无极值(2)当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa.当 0 xa 时，f(x)0；当 xa 时，f(x)0.f(x)在 xa 处取得极小值，且 f(a)aaln a，无极大值综上可知，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值.由极值求参数的值或取值范围【例 3】(1)若函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处取得极值10，则 a_，b_.(2)已知函数 f(x)13x312(m3)x2(m6)x(xR，m 为常数)，在区间(1，)内
11、有两个极值点，求实数 m 的取值范围思路探究：(1)由 f(1)0 及 f(1)10 求 a，b，注意检验极值的存在条件；(2)f(x)在(1，)内有两个极值点，等价于 f(x)0 在(1，)内有两个不等实根(1)4，11 f(x)3x22axb，依题意得f 110，f 10，即a2ab9，2ab3，解得a4，b11，或a3b3.但由于当 a3，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x1 处取得极值，所以a3b3，不符合题意，应舍去 而当a4，b11 时，经检验知符合题意，故 a，b 的值分别为 4，11.(2)解 f(x)x2(m3)xm6.因
12、为函数 f(x)在(1，)内有两个极值点，所以 f(x)x2(m3)xm6 在(1，)内与 x 轴有两个不同的交点，如图所示所以m324m60，f 11m3m60，m321，解得 m3.故实数 m 的取值范围是(3，)已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟进训练3已知 f(x)x312mx22m2x4(m 为常数，且 m0)有极大值52，求 m 的值解 f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令
13、f(x)0，则 xm 或 x23m.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)mm，23m23m23m，f(x)00 f(x)极大值极小值f(x)极大值f(m)m312m32m3452，m1.极值问题的综合应用探究问题1如何画出函数 f(x)2x33x236x16 的大致图象 提示 f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由 f(x)0 得 x2 或 x3，函数 f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由 f(x)0 得2x3，函数 f(x)的递减区间是(2,3)由已知得 f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数 f(x)大致
14、图象如图所示(答案不唯一)2当 a 变化时，方程 2x33x236x 16a 有几解？提示 方程 2x33x236x16a 解的个数问题可转化为函数ya 与 y2x33x236x16 的图象有几个交点的问题，结合探究点 1 可知：(1)当 a60 或 a65 时，方程 2x33x236x16a 有且只有一解；(2)当 a60 或 a65 时，方程 2x33x236x16a 有两解；(3)当65a60 时，方程 2x33x236x16a 三解【例 4】已知函数 f(x)x33xa(a 为实数)，若方程 f(x)0有三个不同实根，求实数 a 的取值范围思路探究：求出函数的极值，要使 f(x)0 有
15、三个不同实根，则应有极大值大于 0，极小值小于 0，由此可得 a 的取值范围 解 令 f(x)3x233(x1)(x1)0，解得 x11，x21.当 x0；当1x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以当 x1 时，f(x)有极大值 f(1)2a；当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)2a.因为方程 f(x)0 有三个不同实根，所以 yf(x)的图象与 x 轴有三个交点，如图由已知应有2a0，2a0，解得2a2，故实数 a 的取值范围是(2,2)1(改变条件)本例中，若方程 f(x)0 恰有两个根，则实数 a 的值如何求解？解 由例题，知函数的极大值 f(1)2a，极小值 f(1)2a，若
16、f(x)0 恰有两个根，则有 2a0，或2a0，所以 a2 或 a2.2(改变条件)本例中，若方程 f(x)0 有且只有一个实根，求实数 a 的范围解 由例题可知，要使方程 f(x)0 有且只有一个实根，只需 2a0 或2a0，即 a2 或 a2.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便课 堂 小 结 提 素 养 1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质，可导函数 f(x)在点 xx
17、0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0 且在 xx0 两侧 f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题1函数 f(x)的定义域为 R，它的导函数 yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1,2)上函数 f(x)为增函数B在(3,4)上函数 f(x)为减函数C在(1,3)上函数 f(x)有极大值Dx3 是函数 f(x)在区间1,5上的极小值点D 由图可知，当 1x2 时，f(x)0，当 2x4 时，f(x)0，当 4x5 时，f(x)0，x2 是函数 f(x)的极大值点，x4 是函数 f(x)的极小值点，故 A，B，C 正确，D 错误2
18、已知函数 f(x)2x3ax236x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3)B(3,)C(2,)D(,3)B f(x)6x22ax36，且在 x2 处有极值，f(2)0,244a360，a15，f(x)6x230 x366(x2)(x3)，由 f(x)0 得 x2 或 x3.3设函数 f(x)xex，则()Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1 为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点D 令 yexxex(1x)ex0，得 x1.当 x1 时，y0；当 x1 时，y0.故当 x1 时，y 取得极小值4已知函数 f(x)x33ax
19、23(a2)x1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是_(，1)(2，)f(x)3x26ax3(a2)，函数 f(x)既有极大值又有极小值，方程 f(x)0 有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即 a2a20，解得 a2 或 a1.5.求函数 f(x)x322x12的极值解 函数的定义域为(，1)(1，)f(x)x22x12x13，令 f(x)0，得 x11，x22.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(,1)1(1,1)1(1,2)2(2,)f(x)00 f(x)383 故当 x1 时，函数有极大值，并且极大值为 f(1)38，无极小值点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
