1、肥东二中 2020-2021 学年度第二学期期末考试 高二年级 数学试卷（文）时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合则（）A.B.C.D.2.设，则（）A.B.C.D.3.下列函数中是增函数的为（）A.B.C.D.4.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.B.C.D.5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的
2、小数记录法的数据为（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 2|340,4,1,3,5Ax xxB，AB 4,11,53,51,3i43iz z 34i34i 34i34i f xx 23xf x 2f xx 3f xx3,0221169xy958565455lgLV10101.2596.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A.B.C.D.7.已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.8.设是等比数列，且，则（）A.12B.24C.30D.329.已知半径为 1 的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D
3、.710.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.11.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（）A.B.C.D.12设是定义域为 R 的偶函数，且在单调递减，则（）A（log3）（）（）B（log3）（）（）C（）（）（log3）D（）（）（log3）6362 3123122 3:,sin1pxx R:qx R|e1x pqpq pqpqna1231aaa234+2aaa678aaa(3,4)ab|2|ba bba)(ab633265,A B CO1OABC1O41ABBCACOOO64483632 f x0,f14f322f232f14f232f3
4、22f322f232f14f232f322f14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知向量，若，则_ 14.若满足约束条件则的最小值为_ 15.在区间随机取 1 个数，则取到的数小于的概率为_ 16函数的最小值为_ 三、解答题（本题 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题 10 分，第 1822 题每题 12 分。）17.（本题 10 分）某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满 意 不 满 意 男 顾 客 女 顾 客 （1）分别估计男、女顾客对该商
5、场服务满意的概率；（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：18.（本题 12 分）已知是等差数列的前项和，且，。（1）求；（2）计算和，由此推测数列是等差数列还是等比数列，并证明你的结论。2,5,4ab/a b,x y4,2,3,xyxyy 3zxy10,2133()sin(2)3cos2f xxx50504010302095%22()()()()()n adbcab cd ac bd2()Pk 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828nS nan11a155 sna21,bb3b nb19（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，平面
6、ABCD，E、F 分别为 BC 和 PC 的中点。（1）求证：EF/平面 PBD;（2）如果 AB=PD，求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值。20.（本题 12 分）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150.（1）若 a=c，b=2，求的面积；（2）若 sinA+sinC=，求 C.21.（本题 12 分）设椭圆222210 xyabab的左焦点为 F，离心率为22，过点 F且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2。（1）求椭圆的方程（2）过点0,2P的直线l 与椭圆交于不同的两点 A、B，当OAB面积最大值时，求线段 AB 的长。22.（本题 12 分）已知
7、函数()(2)xf xea x.（1）当1a 时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.PDABC37ABC322高二期末考试数学试卷答案（文）一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合2|340,4,1,3,5Ax xxB=，则 AB=（）A.4,1B.1,5C.3,5D.1,3【答案】D2.设i4 3iz=+，则 z=（）A.3 4iB.3 4i+C.3 4iD.3 4i+【答案】C3.下列函数中是增函数的为（）A.()f xx=B.()23xf x=C.()2f xx=
8、D.()3f xx=【答案】D 4.点()3,0 到双曲线221169xy=的一条渐近线的距离为（）A.95B.85C.65D.45【答案】A 5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5 lgLV=+已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C 6.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）A.63+B.62 3+C.123+D.122 3+【答案】D7.
9、已知命题:,sin1pxx R命题:qx R|e1x ，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pq C.pq D.()pq【答案】A8.设 na是等比数列，且1231aaa+=，234+2aaa+=，则678aaa+=（）A.12B.24C.30D.32【答案】D9.已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心 M 到原点O 的距离减去半径 1 可得答案.【详解】设圆心(),C x y，则()()22341xy+=，化简得()()22341xy+=，所以圆心C 的轨迹是以(3
10、,4)M为圆心，1 为半径的圆，所以|1|OCOM+22345=+=，所以|5 1 4OC =，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.10.已知非零向量a，b满足|2|ba=，且bba)(，则a 与b的夹角为（）A.6 B.3 C.32 D.65 答案：B 11.已知,A B C 为球O 的球面上的三个点，1O 为 ABC 的外接圆，若1O 的面积为4，1ABBCACOO=，则球O 的表面积为（）A.64 B.48 C.36 D.32【答案】A12设()f x 是定义域为 R 的偶函数，且在()0,+单调递减，则A f（log3 14）f（322）f（232）B f（log3 14）
11、f（232）f（322）C f（322）f（232）f（log3 14）D f（232）f（322）f（log3 14）【答案】C二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知向量()()2,5,4ab=，若/a br r，则=_【答案】85 14.若,x y 满足约束条件4,2,3,xyxyy+则3zxy=+的最小值为_【答案】615.在区间10,2随机取 1 个数，则取到的数小于 13的概率为_【答案】23 16函数3()sin(2)3cos2f xxx=+的最小值为_【答案】4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 题 10分
12、，第 1822 题每题 12 分。17.（本题 10 分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满 意 不 满 意 男 顾 客 40 10 女 顾 客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n adbcab cd ac bd=+2()Pk 0.0500.0100.001 k 3.8416.63510.828 答案：(1)男顾客的的满意概率为404505P=女顾客的的满意概率为303505P=(2)有
13、95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】(1)男顾客的的满意概率为404505P=女顾客的的满意概率为303505P=.(2)22100(40 20 10 30)4.762(40 10)(3020)(4030)(1020)=+4.7623.841有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18.（本题 12 分）已知是等差数列的前项和，且，。（1）求；（2）计算和，由此推测数列是等差数列还是等比数列，并证明你的结论。【解析】联立 ，推测成等比数列 证明（常数）数列成等比 19（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，E、F 分别为 B
14、C 和 PC 的中点。（1）求证：EF/平面 PBD;（2）如果 AB=PD，求 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值。【解析】E、F 分别为 BC 和 PC 中点，EF/PB 又EF面 PBD EF/面 PBD4 分 设aAB=，aBD2=，aPD=nS nan11=a155=sna21,bb3b nb=+=152455111daa=211da32=nan322=nnb211=b22=b83=b nb42232121=+nnnnbb nb又EF/PB 且PD面 ABCD PBD为所求角，在 Rt PBD 中222tan=aaBDPDPBD为所求 20.（本题 12 分）的内角 A，B，C
15、的对边分别为 a，b，c.已知 B=150.（1）若 a=c，b=2，求的面积；（2）若 sinA+sinC=，求 C.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理可得，的面积；（2），.21.（本题 12 分）设椭圆()222210 xyabab+=的左焦点为 F，离心率为22，过点 F且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2。（1）求椭圆的方程（2）过点()0,2P的直线l 与椭圆交于不同的两点 A、B，当OAB面积最大值时，求线段 AB 的长。【解析】解:（1）离心率为22，22ca=过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，通径长222ba=ABC37ABC322
16、3152222282cos1507bacacc=+=2,2 3,caABC=1sin32SacB=30A C+=sin3sinsin(30)3sinACCC+=+132cossinsin(30)222CCC=+=+=030,303060CC +3045,15CC+=由及222abc=+，解的2a=，1bc=，椭圆方程为:2212xy+=（2）由题可知，直线l 的斜率存在，故设为2ykx=+，记()11,A x y，()22,B x y，由22212ykxxy=+=，得()221 2860kxkx+=，216240k=得232k，1221 2281 261 2kxxkx xk+=+=+，P 在椭
17、圆外，22121222116242 4621 21 2OABkkSOPxxxxkk=+，令246(0)tkt=得2246kt=+，244428822 8OABtSttt=+，当且仅当 8tt=，即272k=（符合）时，面积取得最大值，此时()()2221222146311 22kkABkxxk+=+=+.22.（本题 12 分）已知函数()(2)xf xea x=+.（1）当1a=时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）减区间为(,0)，增区间为(0,)+；（2）1(,)e+.【解析】（1）将1a=代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于
18、零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0 xea x+=有两个解，将其转化为2xeax=+有两个解，令()(2)2xeh xxx=+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a=时，()(2)xf xex=+，()1xfxe=，令()0fx，解得0 x，令()0fx，解得0 x，所以()f x 的减区间为(,0)，增区间为(0,)+；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0 xea x+=有两个解，从方程可知，2x=不成立，即2xeax=+有两个解，令()(2)2xeh xxx=+，则有22(2)(1)()(2)(2)xxxe xee xh xxx+=+，令()0h x，解得1x ，令()0h x，解得2x 或 21x ，所以函数()h x 在(,2)和(2,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，且当2x 时，()0h x，而2x+时，()h x+，当 x +时，()h x+，所以当2xeax=+有两个解时，有1(1)ahe=，
