1、第一节 离散型随机变量及其概率分布 基础梳理随机试验的结果 1.基本概念(1)随机变量：一般地，如果 ，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.通常用字母X,Y,等表示.（2）离散型随机变量：随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量叫做离散型随机变量.（3）一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是 ，且P(X=)=(i=1,2,n),则称表 12,.,nx xxixipX P 1x2xixnx1p2pipnp概率分布表 概率分布 为离散型随机变量X的 ，它和都叫做随机变量X的 .2.离散型随机变量的基本性质（1）0(i=1,2,n);(2).3.两点分布 如果随机变量
2、X的分布列为 则称X服从0-1分布或两点分布，并记为 ,或 .ip12.1npppX 0 1 P 1-P P X0-1分布 X两点分布 4.超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件X=r发生的概率为 ,r=0,1,2,l,其中l=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*，称分布列 为 .如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X .记为XH(n,M,N).并将 记为H(r;n,M,N).n rMN MnNC CP XrCX 0 1 l P 00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCln lMN MnNC CC超几何分布列 服从超
3、几何分布 rn rMN MnNC CP XrC题型一 随机变量的概念【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义.（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数;(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.典例分析分析 (1)所取三个球中，可能有一个白球，也可能有两个白球，还可能没有白球.（2）投掷结果为（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN,投掷结果用X,Y表示.解 (1)可取0,1,2.=0表示所取三球没有白球;=1表示所取三球是1个白球，2个黑球;=2表示所取三球是2个白球，1个黑球.（2）X的可能取值有2,3,4,5,12
4、,Y的可能取值为1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数,则 X=2表示（1，1）;X=3表示（1，2），（2，1）;X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）;X=12表示(6,6);Y=1表示（1，1）;Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）;Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）;Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.学后反思 研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础.1.下列几个结果:某机场候机
5、室中一天的游客数量为X；某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；某水文站观察到一天中长江的水位为X；某立交桥一天经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是 .解析:、中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.答案:题型二 求离散型随机变量的分布列【例2】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列.分析 本题主要考查互斥事件、独立事件离散型随机变量的分布列，考查运用概率
6、的知识解决实际问题的能力.解 可能取的值为0,1,2,3,P(=0)=,P(=1)=2234224615C CC C 12211343242246715C CC C CC C又P(=3)=,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.的分布列为 132246130CC C 171315153010 0 1 2 3 p 15715310130学后反思 求概率分布（分布列）的一般步骤为：（1）明确随机变量的取值范围;（2）搞清楚随机变量取每个值对应的随机事件，求出随机变量取每个值对应的概率值;（3）列出分布列（一般用表格形式）;（4）检验分布列（用它的两条性质验算）.举一反三 2.盒中装
7、有大小相同的10个球,编号分别为0,1,2,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”三类情况之一，并求其概率分布.解析：分别用 表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三种情况，设是随机变量，其可能取值分别是 则 P(=)=,P(=)=,P(=)=,故的概率分布为 123,x x x123,x x x1x511022x1103x42105P1x2x3x1211025题型三 超几何分布【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.分析 X服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式来求解.解
8、 依题意随机变量X服从超几何分布，所以P（X=k）=(k=0,1,2,3,4).P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.464410kkC CC04644101210C CC1364410435C CC226441037C CC3164410821C CC4064410114C CCX的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 114821374351210学后反思 对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.举一反三 3.设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现
9、从中随机抽取20件，求抽得次品件数的分布列.解析：由题意知的可能取值为0,1,2,3,4,5,服从超几何分布，其中M=5,N=100,n=20.所以P(=k)=(k=0,1,2,3,4,5).所以的分布列为 2059520100kkC CC012345P0.319 3 0.420 1 0.207 3 0.047 9 0.005 2 0.000 2 题型四 利用随机变量的分布列解决概率问题【例4】（14分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的
10、机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.（1）求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布；（3）求甲取到白球的概率.分析 (1)求袋中原有白球的个数，需列出方程求解.(2)写出X的可能取值，求出相应概率，求出X的分布列.（3）利用所求分布列，甲取到白球的概率为P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5).解 (1)设袋中原有n个白球，由题意知 ,2 所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3个白球.4 22711127 677 62nn nn nCC(2)由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X
11、=4)=,P(X=5)=.6 所以取球次数的分布列为 8 374 327 674 3 3676 535 4 3 2 337 6 5 435 4 3 2 1 317 6 5 4 335 X 0 1 2 3 4 P 1353356352737(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A，则P（A）=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”)10 因为事件“X=1”、“X=3”、“X=5”两两互斥，所以P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=14 361227353535学后反思 （1）处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰
12、当的随机变量，并明确随机变量所有可能的取值.（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.（3）注意应用概率之和为1这一性质检验解答是否正确.举一反三 4.(2010广州模拟)某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(1)求该运动员两次都命中7环的概率；（2）求的分布列.X 06 7 8 9 10 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 解析：(1)该运动员两次都命中7环的概率为 P(7)=0.20.2=0.04.(2)的可能取值,为0,7,8,9,10,则 P(=0)=0,P(=7)=0.04,P
13、(=8)=20.20.3+=0.21,P(=9)=20.20.3+20.30.3+=0.39,P(=10)=20.20.2+20.30.2+20.30.2+=0.36.所以的分布列为 20.320.320.2 0 7 8 9 10 P 0 0.04 0.21 0.39 0.36 易错警示【例】某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.错解 P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09,P(=3)=0.10.10.9=0.009,P(=4)=0.9=0.000 9,P(=5)=0.9=0.000 09,故其分布列为 30.
14、140.1 1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001 错解分析 当=5时，应包含两种情形：一是前4发都没有命中，恰第5发命中，概率为 0.9;二是这5发子弹均未命中目标，概率为 ,所以P（=5）=0.9+=0.000 1或P(=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1.1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001 40.140.150.150.1正解 错解中取1,2,3,4时的概率均正确，当=5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(=5)=,从而知
15、耗用子弹数的分布列为 40.110.设随机变量X的概率分布如下表所示：F(x)=P(Xx)，则当x的取值范围是1,2)时，求F(x).考点演练X 0 1 2 P a 1316解析:由分布列的性质知a=,当x1,2)时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=1211523611.(2009济南模拟)设随机变量的分布列 P=ak(k=1,2,3,4,5).（1）求常数a的值；（2）求P ;(3)求P().P a 2a 3a 4a 5a 5k35110710解析：的分布列为 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.(2)P()=P(=)+P(=)+P(=1)=或P()=1-P()
16、=1-(+)=.115353545345415151553525115215451525354555(3)因为 ,只有=,满足，故P()=P(=)+P(=)+P(=)=1107101525351107101525351232151515512.(2009深圳模拟)一批零件中有10个合格品，2个次品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装，若取到的是次品，则不再放回.（1）求最多取2次零件就能安装的概率；（2）求取得合格品前已取出的次品数的分布列.解析:取1次就能安装的概率为 ;取2次就能安装的概率为 所以最多取2次零件就能安装的概率为 (2)由于随机变量表示取得合格品前已取出的次品数，所以的可能取值为0,1,2.P(=0)=,P(=1)=P(=2)=的分布列为 10512621051211335565633661051262105121133211011211 1066 0 1 2 P 16653356
