1、指数函数(强化练)一、选择题1若a,则化简的结果是()A.B.CD解析:选A.因为a,所以4a11,则x2x2的值为()A2或2B2C.D2解析:选D.法一:因为x1,所以x21.由x2x22,可得x21,所以x2x211(1)2.法二:令x2x2t,因为x2x22,所以由22,得t24.因为x1,所以x2x2,所以t0,于是t2,即x2x22,故选D.6(2019重庆高一检测)函数y的图象的大致形状是()解析:选D.由函数的表达式知:x0,y所以它的图象是这样得到的:保留yex,x0的部分,将x0的图象关于x轴对称7已知a,b,c,则a,b,c的大小关系是()AcabBabcCbacDcba
2、解析:选D.01,1,1.因为函数y在R上是减函数,且,所以.综上可知,即cba.8若函数f(x)是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()A(1,)B(1,8)C(4,8)D4,8)解析:选D.由f(x)在R上是单调递增函数,知解此不等式组,得a4,8)9关于x的方程a10有解,则a的取值范围是()A0a1B1a0Ca1Da0解析:选B.根据题意,结合指数函数的性质,得0y1,故方程a10有解,知a1a1(0,1,可得a的取值范围是1a0.故选B.10已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)axb的图象是()解析:选A.由f(x)的图象知:0
3、a1,b1,排除C、D,因为g(0)1b0,所以排除B,故选A.二、填空题11已知函数f(x)a,若f(x)为奇函数,则a_解析:法一:因为f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,所以f(0)0,即a0.所以a.经检验a满足要求法二:因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),即aa,解得a.答案:12化简4_解析:原式4x(3)xy2xy1.答案:2xy113函数f(x)的单调递增区间为_解析:由于底数(0,1),所以函数f(x)的单调性与y1x2的单调性相反,f(x)的单调递增区间就是y1x2的单调递减区间由y1x2的图象(图略),可知:当x0时,y1x2是增函数;当x0时,y1x2是减
4、函数所以函数f(x)的单调递增区间为0,)答案:0,)14函数yax在0,1上的最大值与最小值的和为3,则函数y2ax1在0,1上的最大值是_解析:函数yax在0,1上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0a13,解得a2,因此函数y2ax14x1在0,1上是单调递增函数,当x1时,ymax3.答案:3三、解答题15已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,且g(2x1)g(3x),求x的取值范围解:设f(x)ax(a0且a1),因为f(3)8,所以a38,即a2,又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x),因此g(2
5、x1)g(3x)2x13xx1.即x的取值范围是(,1)16已知函数f(x).(1)若a1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值解:(1)当a1时,f(x),令ux24x3(x2)27,在(,2)上单调递增,在(2,)上单调递减,而y在R上单调递减,所以f(x)在(,2)上单调递减,在(2,)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是(2,),递减区间是(,2)(2)令h(x)ax24x3,y,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值1,因此必有解得a1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.17已知x(,1时,不等式(m2m)4x2x0恒成立,求实数m的取值范围解:
6、原不等式变形为m2m,因为函数y在(,1上是减函数所以2,当x(,1时,m2m恒成立等价于m2m2,解得1m2.故实数m的取值范围为(1,2)18已知函数f(x)2x2axb,且f(1),f(2).(1)求a,b的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)判断并证明函数f(x)在0,)上的单调性,并求f(x)的值域解:(1)因为所以根据题意得解得故a,b的值分别为1,0.(2)f(x)为偶函数,证明如下:由(1)知f(x)2x2x,f(x)的定义域为R,关于原点对称因为f(x)2x2xf(x),所以f(x)为偶函数(3)设任意x1x2,且x1,x20,),则f(x1)f(x2)(2 x12x1)(2x22x2)(2x12x2)(2 x12 x2).因为x1x2,且x1,x20,),所以2 x12 x20,2x1x21,所以2 x1x210,则f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)所以f(x)在0,)上为增函数当x0时,函数取得最小值,为f(0)112,所以f(x)的值域为2,)